La condition est évidemment nécessaire. Pour montrer qu'elle est suffisante, on écrit \( f(t)=c\prod_{i=1}^n (t-a_{i}) \) (où t est la variable) et on pose \( g_{i} = (t-a_{i})^{-1}f(t)\) . Les \( g_{i}\) sont premiers entre eux dans leur ensemble; il existe donc des \( h_{i}\) tels que \( h_{i}f_{i}=1\) Si \( x\in V\) , \( x=\sum g_{i}(S)h_{i}(a)x\) \( g_{i}(S)h_{i}(S)x\) est annulé par \( S\) [illisible] est l'identité), de sorte que c'est un vecteur propre de \( S\) .

Résulte immédiatement du Lemme 1.

Si \( c \in K\) , soit \( t\) [illisible] l'ensemble des \( x \in V\) tels que \( Sx=cx\) . La somme des \( U_{c}\) est directe. Car, soit [illisible] \( =0\) , \( x_{i} \in U_{c_{i}}, c_{1}\cdots c_{n}\) tous distincts, on va montre par récurrence sur n que [illisible] \( =0(1\leqslant i \leqslant n) \) . Supposons que ce soit vrai pour \( n-I\) ; on a \( 0 = S(\sum x_{i} )= \sum \text{[illisible]}_{i}x_{i}\) et \( c_{n}\sum x_{i}=0\) d'où \( \sum_{i=I} (c_{i}-c_{n}x_{i}=0\) et par suite \( x_{i}=0\) pour \( i\leqslant n-1\) , d'où \( x_{n}=0\) . Donc V est somme directe des \( U_{c}\) . Ceci dit, puisque \( S^{\prime}\) commute avec \( S\) , \( S^{\prime}(U_{c}<U_{c}\) pour tout c ; on prend une base de \( U_{c}\) par rapport à laquelle \( S^{\prime}\) se représente par une matrice diagonale, et on met toutes ces bases ensemble.

On peut trouver un polynome \( f\) sans racines multiples tel que \( F\) divise une puissance \( f^{e}\) de \( f\) et que \( f\) divise \( F\) .Les racines de \( f\) sont donc dans \( K\) .Le polynôme \( f\) est premier à sa dérivée \( f^{\prime}\) ; soit \( \mathfrak{h}\) tel que \( hf^{\prime}\equiv 1(\text{mod.}f)\) .Soit \( t\) la variable indépendante,il existe un endomorphisme d'algèbre \( s\) de \( K[t]\) tel que \( st=t-h(t)f(t)\) .On a \( sf \equiv O(\text{mod} f^{2})\) ; en effet par la formule de Taylor, \( (sf)(t)\equiv f(t)-f^{\prime}(t)h(t)f(t) (\text{mod} f^{2}) \) et \( f-f^{\prime}hf = f(1-f^{\prime}h) \text{est} \equiv 0 (\text{mod} f^{2})\) . On en tire tout de suite par récurrence que \( s^{k}f \equiv 0 ( \text{mod} f^{2^{k}} )\) . Par ailleurs, on a \( s^{k}t \equiv t (\text{mod} f)\) .C'est vrai pour \( k=1\) ; si c'est vrai pour \( k\) , \( s{k+1}t \equiv st (\text{mod} sf)\) d'où \( s^{k+1}t \equiv t (\text{mod} f )\) . On choisit \( k\) tel que \( 2^{k} \geq e\) ,et on pose \( S= (s^{k}t)(X)\) . On a \( f(s^{k}t = (s^{k}f)(t) \) , qui est divisible par \( F\) ,d'où \( f(S)=0\) ,et \( S\) est diagonale (lemme 1). Soit \( N=X-S=(t-s^{k}t)(X)\) ; puisque \( t-s^{k}t \equiv 0 ( \text{mod} f ) \) , on a \( N^{e}=0\) . De plus, \( S\) et \( N\) sont des polynômes en \( K\) ,donc commutent. Soit réciproquement \( X=S^{\prime}+N^{\prime}\) , \( S^{\prime}\) diagonal, \( N^{\prime}\) nilpotent, \( [S^{\prime}, N^{\prime}]=0\) . Alors \( S^{\prime}\) et \( N^{\prime}\) commutent avec \( X\) donc avec \( S\) et \( N\) qui sont des polynômes en \( X\) ; on a \( S-S^{\prime}=N-N^{\prime}\) .Or \( S-S^{\prime}\) est diagonal(lemme 3) et \( N-N^{\prime}\) est nilpotent comme résulte tout de suite de la formule du binome,applicable puisque \( N\) et \( N^{\prime}\) commutent.On a donc \( S=S^{\prime}\) , \( N=N^{\prime}\) .

Soit \( V_{n}\) la puissance antisymétrique n{è} de \( V\) .L'application \( (x_{1},\cdots ,x_{n}) \rightarrow (Xx_{1})x_{2},\cdots x_{n} + x_{1}(Xx_{2})\cdots x_{n} + \cdots + x_{1}\cdots x_{n-1} (Xx_{n})\) de \( V^{n}\) dans \( V_{n}\) , est alternée (les produits au second membre sont extérieurs). En effet,si \( x_{i} , x_{j} , n-2\) des termes au second membre sont nuls,et les deux restants se déduisent l'un de l'autre par une transposition des facteurs.Il existe donc une application \( D_{X}^{n}\) , de \( V_{n}\) , dans lui-même telle que \( D_{X}^{n}(x_{1}\cdots x_{n})\) soit l'expression écrite plus haut (si \( n=0\) ,il doit être entendu que \( D_{X}^{0}\) est l'application nulle). L'application \( D_{X}\) de \( E\) dans \( E\) qui prolonge toutes les \( D_{X}^{n}\) est une dérivation qui prolonge \( X\) . Il résulte immédiatement des définitions que si \( D\) est une dérivation de \( E\) , \( D(1)=0\) , et que l'ensemble des \( x\) tels que \( D(x)=0\) est une sous-algèbre.Si donc \( D\) est nulle sur \( V\) ,on a \( D=0\) d'où l'unicité,puisque la différence de deux dérivations est une dérivation.Toute combinaison linéaire de dérivations étant une dérivation, l'application \( X \rightarrow D_{X}\) est linéaire ; le crochet de deux dérivation étant une dérivation, on a \( D_{[X,X^{\prime}]} = [D_{X},D_{x^{\prime}}]\) . Soit \( u=x_{1}\cdots x_{n}\) , ou les \( x_{i}\) , forment une base de \( U\) . Si \( Xx_{i} = \sum a_{ij}x_{j}\) , il résulte immédiatement de la formule écrite plus haut que \( D_{X}u = ( \sum a_{ii})u\) . Supposons inversement que \( D_{X}u = su\) .Soit \( x \in U\) ; on a \( O=D_{X}(xu) = (Xx)u+sxu = (Xx)u \) , d'où \( Xx \in U \) .

Remarque-On voit que la prop. précédente peut servir à une déf.intrinsèque de la trace;la formule \( \text{Tr}(XX^{\prime}) = \text{Tr}(X^{\prime}X) \) s'en déduit immédiatement.

Proposition 1- Soit \( \mathfrak{g}\) une alg. de Lie réductive la repres. adjointe est semi-simple en elle-même.Tout idéal abélien \( \mathfrak{a}\) de \( \mathfrak{g}\) est dans le centre \( \mathfrak{c}\) de \( \mathfrak{g}\) , et \( \mathfrak{g}\) est somme directe de \( \mathfrak{c}\) et de \( \mathfrak{Dg}\) ; \( \mathfrak{Dg}\) n'a pas d'idéal abélien \( \neq 0\) .

Il résulte immédiatement des Prop.1 et 2 que I \( \Rightarrow\) II.

Lemme 1-Soit \( X\) un endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel \( V\) , et soit \( E\) l'espace des endomorphismes de \( V\) .L'application \( Y \rightarrow [y,Y]\) de \( E\) dans lui-même est nilpotente.

Car, si \( f\) est cette aplication, \( f^{m}(Y)\) est une somme de termes de la forme \( \pm X^{i}YX^{j}\) avec \( i+j=m\) ; si \( X^{k}=0\) , \( f^{2k}(Y)=0\) pour tout \( Y\) .

Il résulte immédiatement de là que, si \( X\) est un élément de l'algèbre \( \mathfrak{g}\) du théorème, \( \text{ad} X\) est nilpotent. Soit \( \mathfrak{h}\) une sous-algèbre de dimension \( m<n\) de \( \mathfrak{g}\) . Si \( X \in \mathfrak{h}\) , \( \text{ad}X\) applique \( \mathfrak{h}\) dans lui-même et définit par passage aux quotients un endomorphisme \( \sigma(X)\) de l'espace vectoriel \( \mathfrak{g/h}\) ; il est clair que \( \sigma(X)\) est nilpotent. En vertu de notre hypothèse inductive, il y a un élément \( \neq 0\) de \( \mathfrak{g/h}\) qui est annulé par tous les \( \sigma(X)\) , \( X \in \mathfrak{h}\) . Il y'a donc un \( Y \in \mathfrak{g}\) , \( Y \notin \mathfrak{h}\) tel que \( [X,Y] \in \mathfrak{h}\) pour tout \( X \in h\) . Il en résulte immédiatement que \( \mathfrak{h}\) est un idéal dans une certaine sous-algèbre de dimension \( m\div1\) de \( \mathfrak{g}\) .

On conclut facilement de là (par itération ) à partir de \( \mathfrak{h} = \lbrace 0\rbrace\) ) que \( \mathfrak{g}\) possède un idéal de dimension \( n-1\) ,soit \( \mathfrak{h}\) . Faisant usage de nouveau de l'hypothèse inductive, les éléments de \( V\) qui sont annulés par les opérations de \( \rho(\mathfrak{h})\) forment un sous-espace \( U \neq 0\) . Soit \( A\) un élément de \( \mathfrak{g}\) non contenu dans \( \mathfrak{h}\) ; si \( x \in U\) et \( X \in \mathfrak{h}\) , on a \[ \rho(X)\rho(A)x = \rho(A)\rho(x)x+\rho([X,A])x = 0 \] puisque \( [X,A] \in \mathfrak{h}\) . Donc \( \rho(A)\) applique \( U\) dans lui-même. Puisque \( \rho(A)\) est nilpotent il y'a un \( x \neq 0\) dans \( U\) qui est appliqué sur \( 0\) par \( \rho(A)\) , et par suite aussi par tout élément de \( \rho(\mathfrak{g})\) .

C'est le th.d'Engel appliqué à la représentation adjointe.

Car le centre d'un idéal est un idéal(lemme 4, §2).

1-Soit \( L\) un surcorps de \( K\) . Si \( X \in \mathfrak{g}^{L}\) , on a \( [X,\underline{F}] \subset \underline{F}^{L}\) , d'où \( [X,\underline{F}^{L}] \subset \underline{F}^{L}\) . Supposons réciproquement qu'un \( X \in \underline{E}^{L}\) satisfasse à cette condition. On a en particulier \( [X,Y] \in \underline{F}^{L}\) si \( Y \in \underline{F}\) . Écrivant \( X = \sum a_{i}X_{i}\) ou les \( X _{i} \in \underline{E}\) et les \( a_{i}\) , sont linéairement indépendants sur \( K\) dans \( L\) , on voit tout de suite que \( [X_i,Y] \in F\) pour tout d'où \( X \in \mathfrak{g^{L}}\) . Par ailleurs on a \( \text{Tr} AX = 0 \) pour tout \( X \in \mathfrak{g^{L}}\) . On voit donc qu'on peut supposer sans restreindre la généralité que \( A\) satisfait à une équation \( F(A) = 0 \) où \( F\) est un polynôme qui a toutes ses racines dans le corps de base.

2-On peut alors écrire \( A=S+N\) où \( S\) est diagonal, \( N\) nilpotent et \( [S,N] = 0\) . Si \( X \in \underline{E}\) , désignons par \( f(x)\) l'application \( Y \rightarrow [X,Y]\) de \( \underline{E}\) dans \( \underline{E}\) ; \( f\) est donc la représentation adjointe de \( \mathfrak{gl}(V)\) . On a \( f(A) = f(S) + f(N)\) , \( [f(S);f(N) = 0\) et f \( f(N)\) est nilpotent(lemme 1,§4). Soit \( x_{1},\cdots ,x_{n}\) une base de \( V\) telle que \( Sx_{i} = a_{i}x_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant n\) ) ; soit \( X_{ij}\) l'élément de \( \underline{E}\) qui applique \( x_{i}\) sur \( x_{j}\) et \( x_{k}\) sur \( 0\) si \( k \neq i\) ; les \( X_{ij}\) forment une base de \( \underline{E}\) . Un calcul facile montre que, si \( S^{\prime} x_{i} = a_{i}x_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant n\) ), \( [S^{\prime} ,X_{ij}] = (a^{\prime}_{j} - a^{\prime}_{i})X_{ij}\) . En particulier, \( f(S)\) est diagonal. Il en résulte que \( f(S)\) est la composante diagonale de \( f(A)\) , donc est un polynôme en \( f(A)\) . Puisque \( f(A)\) applique \( \underline{F}\) dans lui-même, il en est évidemment de même de \( f(S)\) , d'où \( S \in \mathfrak{g}\) . Or on va montrer que, si \( S \neq 0\) , il existe un \( S^{\prime} \in \mathfrak{g}\) qui est un polynôme en \( S\) et qui est tel que \( \text{Tr}SS^{\prime} \neq 0\) . Ceci fait,le lemme sera démontré. Car si l'on avait \( S \neq 0\) , \( S^{\prime}\) , qui est un polynôme en \( S\) , commuterait avec \( N\) ; \( S^{\prime} N\) serait donc nilpotent, d'où \( \text{Tr} NS^{\prime} = 0\) et \( \text{Tr} AS^{\prime} = \text{Tr} SS^{\prime} \neq 0\) , ce qui n'est pas.

3-Soit donc \( S\) diagonal dans \( \mathfrak{g}\) ; utilisons les mêmes notations que plus haut. Formons l'algèbre extérieure \( E\) sur \( \underline{E}\) ; si \( X \in \underline{E}\) , soit \( f^{\ast}(X)\) la dérivation de \( \underline{E}\) (il est à présumer que c'est \( E\) ,et non pas \( \underline{E}\) )qui prolonge \( f(X)\) . Soient \( f\) la dimension de \( \underline{F}\) , \( E_{d}\) la puissance antisymétrique \( d\) -ième de \( \underline{E}\) et \( u\) le produit extérieur des éléments d'une base de \( \underline{F}\) . L'espace \( E_{d}\) , possède une base \( \xi_{1},\cdots ,\xi_{n}\) composée des produits extérieurs de \( d\) des éléments \( X_{ij}\) .Soient \( a^{\prime}_{i}\) des éléments de \( K\) , et \( S^{\prime}\) l'endomorphisme de \( V\) qui applique \( x_{i}\) sur \( a_{i}x_{i}\) \( a^{\prime}_{i}\) .Il résulte alors du calcul fait plus haut et du résultat donné dans les préliminaires que \( f^{\ast}\left(S^{\prime}\right)\xi_{k} = L_{k}(a^{\prime}_{1},\cdots ,a^{\prime}_{n})\) ((il est à présumer qu'il manque un \( \xi_{n}\) )) où les \( L_{k}\) sont des formes linéaires à coefficients entiers rationnels. Par hypothèse, \( u\) est un vecteur propre de \( f^{\ast}(S)\) ;si \( f^{\ast}(S)u = su\) , u est une combinaison linéaire de ceux des \( \xi_{k}\) , pour lesquels \( L_{k}(a_{1},\cdots ,a_{n}) = s\) ;soit \( M\) l'ensemble des indices \( k\) pour lesquels il en est ainsi. Puisque \( K\) est de caract. \( 0\) , son corps primitif \( K_{0}\) , peut être identifié au corps des rationnels. Soit \( R\) l'espace vectoriel sur \( K_{0}\) , engendré par \( a_{1},\cdots ,a_{n}\) , et soit \( \mathfrak{h}\) une fonction linéaire quelconque sur \( R\) (donc,à valeurs rationnelles). Posons \( a^{\prime}_{i} = h(a_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant n\) ) et soit \( S^{\prime}\) défini comme plus haut. Si \( k\) et \( k^{\prime}\) sont des éléments de M \( M\) , l'égalité \( L_{k}(a_{1},\cdots ,a_{n} = L_{k},(a_{1},\cdots ,a_{n}\) entraîne \( L_{k}(a^{\prime}_{1},\cdots ,a^{\prime}_{n}) = L_{k^{\prime}}(a^{\prime}_{1},\cdots .,a^{\prime}_{n})\) ; on en déduit immédiatement que \( u\) est un vecteur propre de \( f^{\ast}(S^{\prime})\) donc que \( f(S^{\prime})\) applique \( \underline{F}\) dans lui-même, et par suite que \( S^{\prime} \in \mathfrak{g}\) . Par ailleurs,si \( i\) et \( j\) sont tels que \( a_{i} = a_{j}\) on a aussi \( a^{\prime}_{i} = a^{\prime}_{j}\) ; il résulte de la formule d'interpolation de Lagrange qu'il existe un polynôme \( O\) à coefficients dans \( K\) tel que \( P(a_{i}) = a^{\prime}_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant n\) ), d'où \( P(S) = S^{\prime}\) . Il suffira donc de montrer que la fonction linéaire \( \mathfrak{h}\) peut être choisie telle que \( \text{Tr} SS^{\prime} = \sum a_{i}h(a_{i} \neq 0\) (à condition que les \( a_{i}\) ne soient pas tous nuls). Or,soit \( b_{1},\cdots ,b_{n}\) une base de \( R\) ; posons \( a_{i} = \sum h_{ij}b_{j}\) où les \( h_{ij}\) sont rationnels. Soient \( i_{0}\) et \( j_{0}\) tels que \( h_{i_{0}j_{0}} \neq 0\) ; il existe une fonction linéaire \( \mathfrak{h}\) sur \( R\) telle que \( h(a_{i}) = h_{ij_{0}}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant n\) ), d'où \( \sum a_{i}h(a_{i}) = \sum\sum h_{ij}h_{ij_{0}}b_{j}\) ; or on a \( \sum_{i} h_{ij_{0}}^{2} \neq 0\) , d'où \( \sum a_{i}h(a_{i}) \neq 0\) .Le lemme est donc démontré.

En effet,l'image de \( \mathfrak{g}\) est résoluble, donc n'a pas de quotient semi-simple non nul, d'où il résulte en vertu de la prop.3 qu'elle se confond avec son centre.

§12-DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE LEVI-MALCEV

I. Réduction

La démonstration procède par récurence sur la dimension \( n\) de \( \mathfrak{g}\) . Le théorème est trivial si \( \mathfrak{r}=0\) ; supposons que \( \mathfrak{r}\neq0\) , et que le théorème soit vrai pour les algèbres de dimension \( < n\) . Soit \( \mathfrak{h}\) un élément m-aximal de l'ensemble des idéaux de \( \mathfrak{g}\) contenus dans \( \mathfrak{r}\) et \( \neq \mathfrak{r}\) . Nous poserons \( \mathfrak{g^{\ast} = g/h}\) , \( \mathfrak{r^{\ast} = r/h}\) ; il est alors évident que \( \mathfrak{r^{\ast}}\) est le radical de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) ,que \( \mathfrak{g^{\ast}/r^{\ast}}\) est isomorphe à \( \mathfrak{g/r}\) , et que les seuls idéaux de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) dans \( \mathfrak{r^{\ast}}\) sont \( 0\) et \( \mathfrak{r^{\ast}}\) . Puisque \( \mathfrak{r^{\ast}}\) est résoluble, il est distinct de son algèbre dérivée \( \mathfrak{Dr^{\ast}}\) ; or on voit que tout de suite que l'algèbre dérivée d'un idéal quelconque est encore un idéal. On a donc \( \mathfrak{Dr^{\ast}} = 0\) , et \( \mathfrak{r^{\ast}}\) est abélien.

Supposons que \( \mathfrak{h} \neq 0\) ; on a alors \( \dim \mathfrak{g^{\ast}} < n\) , et il existe une décomposition de Levi \( \mathfrak{g^{\ast} = r^{\ast} + g^{\ast}_{1}}\) de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) . On peut écrire \( \mathfrak{g^{\ast}_{1} = g_{1} / h }\) , où \( \mathfrak{g_{1}}\) est une sous-algèbre de \( \mathfrak{g}\) contenant \( \mathfrak{h}\) , et \( \dim \mathfrak{g_{1}} <n\) . Il existe donc une décomposition de Levi \( \mathfrak{g_{1} = h + s}\) de \( \mathfrak{g_{1}}\) . On voit tout de suite que \( \mathfrak{g = r + s}\) est une décomposition de Levi de \( \mathfrak{g}\) .

Soient maintenant \( \mathfrak{g = r + s}\) et \( \mathfrak{g = r + s_{1}}\) des décompositions de Levi de \( \mathfrak{g}\) . Soit \( \mathfrak{s^{\ast} = (s+h=/h}\) , \( \mathfrak{s^{\ast}_{1} = (s_{1} + h) / h}\) ; on voit tout de suite que les formules \( \mathfrak{g^{\ast} = r^{\ast} + s^{\ast} = r^{\ast} + s^{\ast}_{1}}\) donnent des décompositions de Levi de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) /. Il existe donc un automorphisme spécial \( s^{\ast}\) de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) qui transforme \( \mathfrak{s^{\ast}_{1}}\) en \( \mathfrak{s^{\ast}}\) . Montrons que \( s^{\ast}\) peut se déduire par passage au quotient d'un automorphisme spécial de \( \mathfrak{g}\) (qui conserve \( \mathfrak{h}\) ). Il suffit de considérés le cas où s* expad \( s^{\ast} = \text{exp ad}_{\mathfrak{g^{\ast}}}N^{\ast}\) , \( N^{\ast}\) étant un élément de \( \mathfrak{g}\) tel que \( text{ad}_{\mathfrak{g^{\ast}}}N^{\ast}\) soit nilpotent. Distinguons deux cas suivant que \( \mathfrak{r^{\ast}}\) est contenu ou non dans l'algèbre dérivée de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) . Supposons d'abord \( \mathfrak{r^{\ast} \subset Dg^{\ast}}\) ; dans ce cas, la classe \( N^{\ast}(\text{mod }\mathfrak{h}\) peut être représentée par un élément \( N\) de \( \mathfrak{Dg}\) , et on a \( N \in \mathfrak{Dg \cap r}\) . Notre assertion résultera dans ce cas DU

Lemme 1- Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie sur un corps de caract. \( 0\) , \( \mathfrak{r}\) le radical de \( \mathfrak{g}\) , \( N\) un élément de \( \mathfrak{r \cap Dg}\) et \( \rho\) une représentation de \( \mathfrak{g}\) ; \( \rho(N)\) est alors nilpotent.

Revenant à la question traitée plus haut,on voit que \( \text{ad}\mathfrak{g}N\) est nilpotent, donc que \( s^{\ast} = \text{exp ad}_{\mathfrak{g^{\ast}}}N^{\ast}\) se déduit par passage aux quotients de l'automorphisme spécial \( \text{exp ad}_{\mathfrak{g}}N\) de \( \mathfrak{g}\) . Supposons maintenant que \( \mathfrak{r \not\subset Dg^{\ast}}\) ; puisque \( \mathfrak{r^{\ast} \cap Dg^{\ast}}\) est un idéal de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) , on a alors \( \mathfrak{r^{\ast} \cap Dg^{\ast} = 0}\) . Si \( R^{\ast} \in \mathfrak{r^{\ast}}\) et \( X^{\ast} \in \mathfrak{g^{\ast}}\) , \( [R^{\ast},X^{\ast}]\) est dans \( \mathfrak{r^{\ast} \cap Dg^{\ast}}\) donc nul, ce qui montre que \( \mathfrak{r^{\ast}}\) est dans le centre de \( \mathfrak{g^{\ast}}\) , d'où \( \text{ad}_{\mathfrak{g^{\ast}}}N^{\ast} = 0\) ; \( s^{\ast}\) est l'identité, et noj re assertion est triviale dans ce cas. On voit donc qu'il existe un autom? spécial \( s_{1}\) de \( \mathfrak{g}\) qui conserve \( \mathfrak{h}\) et qui transforme \( \mathfrak{h+s_{1}}\) , en \( \mathfrak{h+s}\) . Soit \( \mathfrak{s_{2}} = s_{1}(\mathfrak{s_{1}})\) ; les formules \( \mathfrak{g_{1} = h+s = h+s_{2}}\) donnent donc des décompositions de Levi de \( \mathfrak{g_{1}}\) . Il existe donc un automorphisme spécial \( s^{\prime}_{2}\) de \( \mathfrak{g_{1}}\) qui transforme \( \mathfrak{s_{2}}\) en \( \mathfrak{s}\) . Montrons que \( s^{\prime}_{2}\) peut se prolonger par un autom. spécial \( s_{2}\) de \( \mathfrak{g}\) . Il suffit de considérer le cas où si \( s^{\prime}_{2} = \text{exp ad}_{\mathfrak{g_{1}}}N\) ,où \( N \in \mathfrak{h}\) est tel que \( \text{ad}_{\mathfrak{g{1}}}N\) soit nil-potent. Puisque \( \mathfrak{h}\) est un idéal de \( \mathfrak{g}\) , \( \text{ad}_{\mathfrak{g}}N\) applique \( \mathfrak{g}\) dans \( \mathfrak{h}\) . Puisque \( \text{ad}_{\mathfrak{g_{1}}}N\) est nilpotent, il en est de même a fortiori de \( \text{ad}_{\mathfrak{h}}N\) , et on voit que \( \text{ad}_{\mathfrak{g}}N\) est nilpotent, donc que si \( s^{\prime}_{2}\) se prolonge par l'autom. spécial \( s_{2} = \text{exp ad}_{\mathfrak{g}}N\) de \( \mathfrak{g}\) . Ceci dit, l'autom. \( s_{2}s_{1}\) de \( \mathfrak{g}\) est spécial, et applique \( \mathfrak{s_{1}}\) sur \( \mathfrak{s}\) . Le théorème est donc démontré dans le cas où \( \mathfrak{h} \neq 0\) .

§13-DEMONSTRATION DU THÉORÈME DE LEVI-MALCEV

II:le cas où ça canule.

Supposons désormais que les seuls idéaux de \( \mathfrak{g}\) contenus dans \( \mathfrak{r}\) soient \( 0\) et \( \mathfrak{r}\) , ce qui entraine que \( \mathfrak{r}\) est abélien. Nous désignerons par \( \mathfrak{t}\) l'algèbre semi-simple \( \mathfrak{g/r}\) . Si \( X \in \mathfrak{g}\) , la restriction de \( \text{ad}_{\mathfrak{g}}X\) à \( \mathfrak{r}\) ne dépend que de la classe \( T_{X}\) de \( X\) modulo \( \mathfrak{r}\) , comme il résulte tout de suite su fait que \( \mathfrak{r}\) est abélien ; désignons cette restriction par \( \rho(T_{X}\) ; \( \rho\) est donc une représen tation de \( \mathfrak{t}\) dont l'espace de représentation est \( \mathfrak{r}\) . Cette représentation est simple, car tout sous-espace de \( \mathfrak{r}\) stable pour \( \rho\) est évidemment un idéal de \( \mathfrak{g}\) . Nous désignerons par \( \mathfrak{t_{1}}\) le noyau de \( \rho\) . C'est un idéal de \( \mathfrak{t}\) et \( \mathfrak{t}\) est par suite somme directe de \( \mathfrak{t_{1}}\) et d'un idéal \( \mathfrak{t_{2}}\) sur lequel \( \rho\) induit une représentation simple fidèle.

Considérons d'abord le cas où \( \mathfrak{t_{1} = t}\) . Dans ce cas, \( \mathfrak{r}\) est dans le centre de \( \mathfrak{g}\) , et, si \( X \in \mathfrak{g}\) , et si xxxxx , \( \text{ad}_{\mathfrak{g}}X\) (et pas seulement sa restriction à \( \mathfrak{r}\) ) ne dépend que de la classe \( T_{X}\) de \( X\) suivant \( \mathfrak{r}\) . Toute représentation de \( \mathfrak{t}\) étant semi-simple, on en déduit que la représentation adjointe de \( \mathfrak{g}\) est alors semi-simple,donc que \( \mathfrak{g}\) est somme directe de \( \mathfrak{r}\) et d'un idéal \( \mathfrak{s}\) évidemment isomorphe à \( \mathfrak{t}\) et donc semi-simple, ce qui démontre l'existence d'une décomposition de Levi. Soit de plus dans ce cas \( \mathfrak{g = r + t^{\prime}}\) une décomposition de Levi quelconque. Puisque \( \mathfrak{r}\) est dans le centre de \( \mathfrak{g}\) , il est clair que l'algèbre dérivée de \( \mathfrak{g}\) est la même que celle de \( \mathfrak{s^{\prime}}\) , donc égale à \( \mathfrak{s^{\prime}}\) , puisque \( \mathfrak{s^{\prime}}\) est semi-simple. On voit donc qu'il n'existe dans ce cas qu'une seule décomposition de Levi.

Considérons maintenant le cas où \( \mathfrak{t_{1} \neq t}\) , d'où \( \mathfrak{t_{2}} \neq 0\) . Nous aurons alors à nous servir des résultats du §7. Il existe deux bases \( T_{1},\cdots,T_{m}\) , et \( T^{\ast}_{1},\cdots,T^{\ast}_{m}\) de \( T_{2}\) qui possèdent les propriétés suivantes: 1) si \( T \in \mathfrak{T_{2}}\) , \( [T,T_{i}] = \sum a_{ij}T_{j}\) on a aussi \( [T,T^{\ast}_{i} = \sum a_{ijij}T^{\ast}_{j}\) ; 2) l'opérateur \( \Gamma = \sum \rho(T_{i})\rho(T^{\ast}_{i}\) est \( \neq 0\) et commute avec tous les éléments de \( \rho(\mathfrak{t_{2}})\) , donc aussi avec tous les éléments de \( \rho(\mathfrak{t})\) . Le sous-espace des \( R \in \mathfrak{r}\) tels que \( \rho(R) = 0 \) est donc stable pour \( \rho\) ((il est à présumer qu'il s'agit des \( R\) tels que \( \gamma(R) = 0\) )); ce sous-espace, étant \( \neq \mathfrak{r}\) , se réduit à \( 0\) , ce qui montre que \( \Gamma\) est inversible.

Lemme 2 (premier lemme de Whitehead)- Soit \( \theta\) une application linéaire de \( \mathfrak{t}\) dans \( \mathfrak{r}\) telle que \( \theta([T,U]) = \rho(T)\theta(U) =\rho(U)\theta(T)\) pour tout couple \( (T,U)\) d'éléments de \( \mathfrak{t}\) ; il existe alors un \( R_{0} \in \mathfrak{r}\) tel que \( \theta(T) = \rho(T)R_{0}\) pour tout \( T \in \mathfrak{t}\) .

Cec dit, revenons à la démonstration du théorème de Levi-Malcev. Soit \( \underline{S}\) un sous-espace vectoriel de \( \mathfrak{g}\) supplémentaire de \( \mathfrak{r}\) . Si \( T \in \mathfrak{t}\) ,il y'a un élément \( \lambda(T)\) et un seul de \( \underline{S}\) qui est dans la classe \( T \text{mod. } \mathfrak{r}\) . Posons \[ [ \lambda (T), \lambda (U) ] = \lambda ( [T,U] ) + \phi (T,U) \] \( \phi\) est donc une application bilinéaire xxx symétrique gauche de \( \mathfrak{t \times t}\) dans \( \mathfrak{r}\) . En écrivant que l'identité de Jacobi est satisfaite dans \( \mathfrak{g}\) , et en se souvenant de ce que \( \mathfrak{r}\) est abélien, et de ce que \( [ \lambda (T), R] = \rho(T)R\) pour tout \( R \in \mathfrak{r}\) , on voit facilement que \( \phi\) possède les propriétés énoncées dans le lemme 3. Il existe donc une application linéaire \( \psi\) de \( \mathfrak{t}\) dans \( \mathfrak{r}\) telle que \( \phi (T,U) = \psi \left( \left[ T,U \right] \right) - \rho \left( T \right) \psi\left( U \right) + \rho \left( U \right) \psi \left( T \right)\) . On trouve alors que \( \left[ \lambda \left( T \right) + \psi \left( T \right) , \lambda \left( U \right) + \psi \left( U \right) \right] = \lambda \left( \left[T,U \right] \right) + \psi \left( \left[T,U \right] \right)\) , ce qui signifie que l'image de \( \mathfrak{s}\) de \( \mathfrak{t}\) par l'application \( T \rightarrow \lambda \left( T \right) + \psi \left( T \right)\) est une sous-algèbre de \( \mathfrak{g}\) . Puisque \( \lambda \left( T \right) + \psi \left( T \right)\) appartient à la classe de \( T \left(\text{mod } \mathfrak{r} \right)\) , il est clair que \( \mathfrak{g}\) est somme directe de \( \mathfrak{r}\) et de \( \mathfrak{s}\) , ce qui démontre l'existence d'une décomposition de Levi. Supposons maintenant que \( \underline{S} = \mathfrak{s}\) (d'où \( \phi = 0\) ),et soit \( \mathfrak{g = r + s}\) une décomposition de Levi quelconque de \( \mathfrak{g}\) ; si \( T \in \mathfrak{t}\) , l'élément de \( \mathfrak{s^{\prime}}\) qui appartient à la classe \( T \text{modulo } \mathfrak{r}\) se met sous la forme \( \lambda \left( T \right) + \theta \left( T \right) \) où \( \theta\) est une application linéaire de \( \mathfrak{t}\) dans \( \mathfrak{r}\) . Puisque \( \mathfrak{s^{\prime}}\) est une sous-algèbre,on a, pour \( T\) et \( U\) dans \( \mathfrak{t}\) , \( \left[ \left( T \right) + \theta \left( T \right), \lambda \left( U \right) + \theta \left( U \right) \right] = \lambda \left( \left[ T , U \right] \right) + \theta \left( \left[ T , U \right] \right)\) , d'où \( \theta \left( \left[ T , U \right] \right) = \rho \left( T \right) \lambda \left( U \right) - \rho \left( U \right) \lambda \left( T \right)\) . Il existe ((il n'est peut être pas inutile de rappeler que \( \mathfrak{r}\) est abélien, donc que \( \left[ \theta \left( T \right), \theta \left( U \right) \right] = 0\) ; de plus, \( \rho (T)\) est défini comme étant l'application \( X \rightarrow \left[ T^{°}, X \right]\) dans \( \mathfrak{r}\) , où \( T^{°}\) appartient à la classe \( T \text{mod. } \mathfrak{r}\) - en particulier on peut prendre \( \rho \left( T \right) X = \left[ \lambda \left( T \right) , X \right]\) ; ces explications données, la formule est évidente)). Il existe donc un élément \( R_{0}\) de \( ^\mathfrak{ r}\) tel que \( \theta \left( T \right) = \lambda \left( T \right) R_{0}\) , pour tout \( T \in \mathfrak{t}\) (lemme 2). On a donc \( \lambda \left( T \right) + \theta (\left( T \right) = \) ( (T) ) \( \lambda \left( T \right) + \left[ \lambda \left( T \right) , R_{0} \right] \) ((car le lemme 2 donne \( \theta \left( T \right) = \rho \left( T \right) R_{0}\) - et non pas \( \lambda \left( T \right) R_{0}\) comme il a été dit à l'instant- ie. \( = \left[ \left( T \right), R_{0} \right]\) )). Or l'opération \( \text{ad}_{\mathfrak{g}}R_{0}\) applique \( \mathfrak{g}\) dans \( \mathfrak{r}\) (parce que \( \mathfrak{r}\) est un idéal) et \( \mathfrak{D}\) sur 0 ((parce que \( \mathfrak{r}\) est abélien)) ; on a donc \( \left( \text{ad}_{\mathfrak{g}}R_{0}\right)^{2} = 0\) et \( \lambda \left( T \right) + \theta \left( T \right) = s \left( \lambda \left( T \right) \right)\) où \( s\) est l'autom. spécial \( \text{exp} \left( \text{ad}_{\mathfrak{g}}R_{0} \right)\) ; il en résulte que \( S\) transforme \( \mathfrak{s^{\prime}}\) en \( \mathfrak{s}\) '. Le théorème de Levi-Malcev est donc entièrement démontré.

Remarques-

n°1. L'HOLOMORPHE.

Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie et soit \( \mathfrak{d}\) l'algèbre des dérivations de \( \mathfrak{g}\) . Nous allons définir une structure d'algèbre de Lie sur le produit \( \mathfrak{g \times d}\) des espaces vectoriels sous-jacents de \( \mathfrak{g}\) et de \( \mathfrak{d}\) .

Pour ce faire, nous poserons \( \left[ \left( X,D \right),\left( X^{\prime},D^{\prime} \right) \right] = \left( \left[X,X^{\prime} \right] + DX^{\prime} -D^{\prime}X,\left[D,D^{\prime} \right] \right) \) . On vérifie sans peine que l'identité de Jacobi est satisfaite et que notre loi de composition est symétrique gauche. On obtient donc ainsi une structure d'algèbre de Lie \( \mathfrak{h}\) sur \( \mathfrak{g \times d}\) ; \( \mathfrak{h}\) s'appelle l'holomorphe de \( \mathfrak{g}\) .

Il est clair que \( \mathfrak{g}\) et \( \mathfrak{d}\) peuvent s'identifier à des sous-algèbres de \( \mathfrak{h}\) , et que \( \mathfrak{g}\) est un idéal dans \( \mathfrak{h}\) . Si \( X \in \mathfrak{g}\) , on a \( \text{ad }X \in \mathfrak{d}\) . Si \( Y \in \mathfrak{g}\) , on a \( [ \text{ad }X,Y ] = [X,Y] = (\text{ad }X) (Y) \) ; plus généralement \( [D,Y] = DY\) pour tout \( D \in \mathfrak{d}\) . Par ailleurs, si \( D \in \mathfrak{d}\) , on a \( [D, \text{ad }X] = \text{ad } DX\) pour tout \( X \in \mathfrak{g}\) ; les opérations \( \text{ad } X\) forment donc un idéal dans \( \mathfrak{d}\) .

n°2. LE PLUS GRAND IDÉAL NILPOTENT.

Lemme 1. Soit \( \rho\) une représentation d'une algèbre de Lie \( \mathfrak{g}\) . L'ensemble des idéaux \( \mathfrak{n}\) de \( \mathfrak{g}\) tels que tout élément de \( \rho ( \mathfrak{n} )\) soit nilpotent possède un plus grand élément \( \mathfrak{n}_{0}\) ; \( \mathfrak{n}_{0}\) se compose de tous les \( X \in \mathfrak{g}\) tels que \( \rho (X)\) appartienne au radical de l'algèbre associative engendrée par \( \rho ( \mathfrak{g} )\) . Si le corps de base est de caractéristique \( 0\) , \( \mathfrak{n}_{0}\) contient l'intersection du radical \( \mathfrak{r}\) de \( \mathfrak{g}\) avec son algèbre dérivée ; si de plus \( \mathfrak{g}\) est résoluble, \( \mathfrak{n}_{0}\) est l'ensemble de tous les \( X \in \mathfrak{g}\) tels que \( \rho (X)\) soit nilpotent.

Lemme 2. Toute dérivation d'une algèbre de Lie résoluble \( \mathfrak{g}\) sur un corps de caractéristique \( 0\) applique \( \mathfrak{g}\) dans son plus grand idéel idéal nilpotent \( \mathfrak{n}\) .

Lemme 3. Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie qui est somme directe de deux idéaux \( \mathfrak{g_{1}}\) et \( \mathfrak{g_{2}}\) . Le plus grand idéal nilpotent de \( \mathfrak{g}\) est alors la somme des plus grands idéaux nilpotents \( \mathfrak{n_{1}}\) de \( \mathfrak{g_{1}}\) et \( \mathfrak{n_{2}}\) dans \( \mathfrak{g_{2}}\) .

n°3. LEMMES SUR LES ALGÈBRES ASSOCIATIVES.

Lemme 4. Soit \( U\) une algèbre associative qui possède un ensemble fini \( E\) de générateurs, et soit \( \mathfrak{X}\) un idéal bilatère de \( U\) tel que \( U / \mathfrak{X}\) soit de dimension finie. Si \( S\) est un entier \( > 0\) , \( U / \mathfrak{X}^{S}\) est de dimension finie.

Lemme 9. Soit \( D\) une dérivation d'une algèbre associative \( A\) de dimension finie. Supposons qu'il existe un ensemble \( E\) de générateurs de \( A\) tels que, pour tout \( x \in E\) , il existe un \( k > 0\) tel que \( D^{k}x = 0\) . La dérivation D est alors nilpotente.

n°4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME D'ADO.

Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie sur un corps de caractéristique 0. Nous appellerons linéarisation de \( \mathfrak{g}\) une application linéaire bi-univoque \( \lambda\) de \( \mathfrak{g}\) dans une algèbre associative \( A\) de dimension finie ayant un élément unité telle que \( \lambda \left( \left[ X,Y \right] \right) = \left( \lambda \left( X \right) , \lambda \left( Y \right) \right] = \lambda \left( X \right) \lambda \left( Y \right) - \lambda \left( Y \right) \lambda \left( X \right)\) pour tout \( (X,Y) \in \mathfrak{g \times g}\) .

Formons l'algèbre tensorielle \( T\) sur \( \mathfrak{g}\) , et désignons par \( \mathfrak{U}\) l'idéal bilatère de \( T\) engendré par T par les éléments de la forme \( X \otimes Y - Y \otimes X - \left[X,Y \right]\) , pour tous les \( (X,Y) \in \mathfrak{g \times g}\) . Soit \( U\) l'algèbre quotient \( T / \mathfrak{U}\) \( U\) s'appelle l'algèbre associxative universelle de \( \mathfrak{g}\) . Il existe une application \( \mu\) , dite canonique, de \( \mathfrak{g}\) dans \( U\) qui associe à tout \( X \in \mathfrak{g}\) la classe de \( X (\text{mod } \mathfrak{U})\) ; on a \( \mu \left( \left[X,Y \right] \right) = \left[ \mu \left( X \right), \mu \left( Y \right) \right] \) .

Lemme 6. Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie résoluble sur un corps de caractéristique \( 0\) qui admet une linéarisation régulière \( \lambda\) . L'holomorphe \( \mathfrak{h}\) de \( \mathfrak{g}\) admet alors une linéarisation \( \rho\) qui possède la propriété suivante : si \( X\) est dans le plus grand idéal nilpotent de \( \mathfrak{g}\) , et si \( D\) est une dérivation nilpotente de \( \mathfrak{g}\) , \( \rho (X+D)\) est nilpotent.

Lemme 7. Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie qui est somme directe de deux idéaux \( \mathfrak{g_{1}}\) et \( \mathfrak{g_{2}}\) dont chacun admet une linéarisation régulière. L'algèbre admet alors une linéarisation régulière.

Lemme 8.- Toute algèbre de Lie résoluble sur un corps de caractéristique \( 0\) admet une linéarisation régulière.

On peut maintenant démontrer le th. d'Ado. Soit \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie quelconque sur un corps de caractéristique \( 0\) , et soit \( \mathfrak{s}\) le radical de \( \mathfrak{g}\) . Soit \( \mathfrak{g = r + s}\) une décomposition de Levi de \( \mathfrak{g}\) . Soit \( \mathfrak{s_{1}}\) l'ensemble des éléments de \( \mathfrak{s}\) qui commutent avec tous les éléments de \( \mathfrak{r}\) . Puisque \( \mathfrak{r}\) est un idéal de \( \mathfrak{g}\) , on voit tout de suite que \( \mathfrak{s_{1}}\) est un idéal de \( \mathfrak{s}\) . Puisque \( \mathfrak{s}\) est semi-simple, \( \mathfrak{s}\) est somme directe de \( \mathfrak{s_{1}}\) et d'un idéal \( \mathfrak{s_{2}}\) . Les ensembles \( \mathfrak{r + s_{2}}\) et \( \mathfrak{s_{1}}\) sont des idéaux de \( \mathfrak{g}\) (car tout élément de \( \mathfrak{s_{1}}\) commute avec tout tout élément de \( \mathfrak{s_{2}}\) ) et \( \mathfrak{g}\) est leur somme directe. Posons \( \mathfrak{g_{1} = r + s_{2}}\) et soit \( \mathfrak{h}\) l'homolorphe de \( \mathfrak{r}\) . Si \( S \in \mathfrak{s_{2}}\) , la restriction de \( \text{ad}_{\mathfrak{g}}S\) à \( \mathfrak{r}\) est une dérivation \( D_{S}\) de \( \mathfrak{r}\) ; on voit tout de suite que l'application linéaire de \( \mathfrak{g_{1}}\) dans \( \mathfrak{h}\) qui coïncide avec l'identité sur \( \mathfrak{r}\) et qui applique tout \( S \in \mathfrak{s_{2}}\) sur \( D_{S}\) est un isomorphisme de \( \mathfrak{g_{1}}\) avec une sous-algèbre de \( \mathfrak{h}\) . Le plus grand idéal nilpotent de \( \mathfrak{g_{1}}\) est aussi le plus grand idéal nilpotent de \( \mathfrak{r}\) ; il résulte des lemmes 6 et 8 que \( \mathfrak{h}\) admet une linéarisation qui applique tout élément de \( \mathfrak{n}\) sur un élément nilpotent ; cette linéarisation définit une linéarisation régulière de \( \mathfrak{g_{1}}\) . Par ailleurs, \( \mathfrak{s_{1}}\) est semi-simple, de sorte que la représentation adjointe de \( \mathfrak{s_{1}}\) définit une linéarisation régulière de \( \mathfrak{s_{1}}\) . On en conclut, en vertu du lemme 7, qu'il existe une linéarisation régulière de \( \mathfrak{g}\) , ce qui démontre le théorème d'Ado.

Remarque. Le th. d'Ado est encore vrai pour les algèbres de Lie sur les corps de caractéristique p; cf. K. Iwasawa, On the representations of Lie algebras, Jap. Journal of Math., XIX, 1948.

L'algèbre \( \mathfrak{g}\) est isomorphe à son adjointe (car son centre est \( \lbrace 0 \rbrace \) ). Il suffit donc de démontrer le lemme 1 dans le cas où \( \mathfrak{g}\) est une algèbre de Lie d'endomorphismes d'un vectoriel \( V\) . Soit alors \( E\) l'espace des endomorphismes de \( V\) ; si \( X \in \mathfrak{g}\) , soit \( f_{X}\) l'application \( Y \rightarrow [X,Y]\) de \( E\) . L'opération \( f_{X}\) est donc une dérivation de la structure d'algèbre de Lie de \( E\) , et elle conserve \( \mathfrak{g}\) . Soient \( S\) et \( N\) la composante diagonale et la composante nilpotente de \( X\) ; on sait alors que \( f_{S}\) est diagonal, \( f_{N}\) nilpotent, que \( [F_{S},f_{N}] = f_{[S,N]} = 0 \) et que \( f_{X} = f_{S} + f_{N}\) ; on en conclut que \( f_{S}\) et \( f_{N}\) sont les composantes diagonale et nilpotente de \( f_{X}\) . Puisque ce sont des polynômes en \( f_{X}\) , \( f_{S}\) et \( f_{N}\) appliquent \( \mathfrak{g}\) dans lui-même et induisent par suite des dérivations de \( \mathfrak{g}\) . Il résulte alors de la prop.3, §3 qu'il existe \( S^{\prime}\) et \( N^{\prime}\) dans \( \mathfrak{g}\) tels que \( f_{S}(Y) = [S^{\prime}, Y]\) , \( f_{N}(Y) = [N^{\prime}, Y]\) pour tout \( Y \in \mathfrak{g}\) . On voit que \( \text{ad }S^{\prime}\) est diagonal, \( \text{ad }N^{\prime}\) nilpotent, et que \( X - (S^{\prime} + N^{\prime} )\) et \( [S^{\prime}, N^{\prime} ]\) sont dans le centre de \( \mathfrak{g}\) , donc égaux à \( 0\) .

L'unicité de la décomposition résulte de l'unicité des composantes diagonale et nilpotente de \( \text{ad }X\) .

On peut en effet utiliser les notations de la démonstration du lemme précédent en supposant que \( V\) est l'espace de \( \rho\) et que \( \rho\) est l'application identique de \( \mathfrak{g}\) dans \( V\) . Si \( \rho\) est fidèle ; sinon, on se ramène au cas où \( \rho\) est fidèle en observant que la classe de \( X\) modulo le noyau de \( \rho\) est diagonale relativement à \( \mathfrak{g / n}\) . Puisqu'on sait que \( \rho\) est semi-simple, on peut évidemment de plus supposer que \( \rho\) est simple. On a \( f_{N} = 0\) , ce qui montre que \( N\) commute avec les éléments de \( \mathfrak{g}\) . Les éléments \( x\) de \( V\) tels que \( Nx = 0\) forment donc un sous-espace \( U\) de \( V\) stable pour \( \mathfrak{g}\) et \( \lbrace 0 \rbrace \) puisque \( N\) est nilpotent. Ce sous-espace est donc \( V\) tout entier, d'où \( N = 0\) .

Si \( H \in \mathfrak{h}\) , on a \( \rho ( H ) \rho ( X ) x = \rho (X ) \rho ( H) x + \rho \left( \left[ H,X \right] \right) x = w ( H ) \rho ( X ) x + +\alpha ( H ) \rho (X) x\) , car \( [H,X] = \alpha (H)X \) ; le th.1 est donc démontré.

Corollaire 1. Si \( w + \alpha \) n'est pas un poids de \( \rho\) , on a \( \rho (X)x = 0\) .

Corollaire 2. Si des éléments \( X\) et \( Y\) de \( \mathfrak{g}\) appartiennent à des racines \( \alpha\) et \( \beta\) , \( [X,Y]\) appartient à \( \alpha + \beta\) et est nul si \( \alpha + \beta\) n'est pas une racine.

Si \( H \in \mathfrak{h}\) , \( \rho (H)\) est diagonal (lemme 2); les \( \rho (H) \) forment donc un ensemble d'endomorphismes diagonaux qui commutent entre eux; il résulte alors d'un théorème bien connu qu'il existe une base de \( V\) par rapport à laquelle les \( \rho ( H )\) se représentent tous par des matrices diagonales ; les éléments de cette base appartiennent à des poids de \( \rho\) .

Corollaire 1. Soient \( X_{1}, \cdots, X_{h}\) des éléments de \( \mathfrak{g}\) qui appartiennent à des racines \( \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{h}\) dont la somme est \( \neq 0\) . Si \( \rho\) est une représentation de \( \mathfrak{g}\) , \( \rho(X_{1}), \cdots , \rho (X_{h} )\) est nilpotent.

Corollaire 2. Soient \( \alpha\) et \( \beta\) des racines de \( \mathfrak{g}\) dont la somme est \( \neq 0\) , et soient \( X\) et \( Y\) des éléments appartenant à ces racines. On a alors \( \text{Tr }(\text{ad }X)(\text{ad }Y) = 0\) .

Corollaire 3. Si \( \alpha\) est une racine de \( \mathfrak{g}\) , il en est de même de \( -\alpha\) .

Corollaire 4. Si \( r\) est la dimension de \( \mathfrak{h}\) , il existe au moins \( r\) racines linéairement indépendantes.

Soit \( \mathfrak{g_{0}}\) le sous-espace de \( \mathfrak{g}\) engendré par les éléments de \( \mathfrak{g}\) qui appartiennent à la racine \( 0\) ; \( \mathfrak{g_{0}}\) est donc l'ensemble des éléments de \( \mathfrak{g}\) qui commutent avec ceux de \( \mathfrak{h}\) . Si \( X \in \mathfrak{g_{0}}\) et si \( Y\) appartient à une racine \( \alpha \neq 0\) , on a \( \text{Tr }(\text{ad }X)(\text{ad }Y) \neq O\) (cor.2 au th.2). La forme bilinéaire fondamentale de \( \mathfrak{g}\) n'étant pas dégénérée, il en résulte que sa restriction à \( \mathfrak{g_{0} \times g_{0}}\) n'est pas dégénérée. Tout élément diagonal \( H\) de \( \mathfrak{g_{0}}\) est dans \( \mathfrak{h}\) . En effet, puisque \( H\) commute avec tous les éléments de \( \mathfrak{h}\) , qui sont eux-mêmes diagonaux, tout élément de l'espace engendré par \( H\) et \( \mathfrak{h}\) est diagonal ; cet espace est donc contenu dans \( \mathfrak{h}\) en vertu du caractère maximal de \( \mathfrak{h}\) . L'algèbre \( \mathfrak{g_{0}}\) ne peut contenir aucune sous-algèbre semi-simple \( \mathfrak{s} \neq \lbrace 0 \rbrace \) . En effet, \( \mathfrak{s}\) contiendrait alors un élément \( H \neq 0\) tel que \( \text{ad}_{\mathfrak{s}}H\) soit diagonal ; il résulterait du th.2 (appliqué à la représentation de \( \mathfrak{s}\) induite par la représentation adjointe de \( \mathfrak{g}\) ) que \( H\) serait diagonal, donc contenu dans \( \mathfrak{h}\) ; mais, \( \mathfrak{h}\) étant dans le centre de \( \mathfrak{g_{0}}\) , \( H\) serait dans le centre de \( \mathfrak{s}\) , ce qui est impossible. Il résulte donc du th. de Levi que \( \mathfrak{g_{0}}\) est résoluble. Si \( N\) est un élément nilpotent de \( \mathfrak{g_{0}}\) , \( \text{ad } N\) est dans le radical de l'algèbre associative engendrée par les \( \text{ad }X \) , \( X \in \mathfrak{g_{0}}\) (lemme 1, §14). Il en résulte que, pour tout \( X \in \mathfrak{g_{0}}\) , \( (\text{ad }X)(\text{ad }N)\) est nilpotent, d'où \( \text{Tr }(\text{ad }X)(\text{ad }N) = 0 \) et \( N=0\) . Soit maintenant \( X\) un élément quelconque de \( \mathfrak{g}\) , et soit \( X = H + N\) , où \( H\) et \( N\) sont dans \( \mathfrak{g}\) , \( H\) diagonal, \( N\) nilpotent et \( [H,N] = 0\) . Alors, \( \text{ad } H\) et \( \text{ad }N\) sont les composantes diagonale et nilpotente de \( \text{ad }X\) , et peuvent s'écrire comme polynômes en \( \text{ad }X\) . Puisque \( \text{ad }X\) commute avec tous les éléments de \( \text{ad }\mathfrak{n}\) , il en est de même de \( \text{ad }N\) ; la représentation adjointe de \( \mathfrak{g}\) étant fidèle, \( N\) commute avec les éléments de \( \mathfrak{h}\) , d'où \( N \in \mathfrak{g_{0}}\) et par suite \( N = 0\) . On a donc \( X = H \in \mathfrak{h}\) et \( \mathfrak{g_{0} = h}\) , ce qui démontre la prop. 1.

L'élément \( [X,Y]\) appartient à la racine \( 0\) , donc est dans \( \mathfrak{h}\) (prop.1). si \( H \in \mathfrak{h}\) , on a \( \left\langle H, \left[ X,Y \right] \right\rangle = \left\langle \left[ H , X \right], Y \right\rangle = \alpha \left( H \right) \left\langle X, Y \right\rangle \) , ce qui démontre la prop.2.

Nous avons vu que \( \mathfrak{g}\) contient des éléments \( X\) et \( Y\) , appartenant respectivement aux racines \( \alpha\) et \( -\alpha\) , tels que \( \left[ X,Y \right] = H_{\alpha} \) ; de plus les éléments \( X\) , \( Y\) et \( H_{\alpha} \) forment une base d'une sous-algèbre simple \( \mathfrak{g_{\alpha}}\) de dimension \( 3\) . Soit \( y\) un vecteur de l'espace de la représentation \( \rho\) qui appartient à \( w\) ; le th.3 résulte immédiatement du lemme 1, §16 si on observe que \( \left( \rho \left( Y \right) \right)^{i} \left( \rho \left( X \right) \right)^{P}y\) appartient au poids \( w + \left( p - i \right) \alpha\) .

Soit \( w\) un poids d'une représentation de \( \mathfrak{g}\) ; écrivons \( w = \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} c_{i}\alpha_{i}\) . Si nous posons \( 2 \left\langle w , \alpha_{j} \right\rangle = m_{j} \left\langle \alpha_{j} , \alpha_{j} \right\rangle \) et \( 2 \left\langle \alpha_{i} , \alpha_{j} \right\rangle = m_{ij} \left\langle \alpha_{j} , \alpha_{j} \right\rangle\) , les \( m_{j}\) et \( m_{ij}\) sont des entiers, et on a \( m_{j} = \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} c_{i}m_{ij}\) .

La restriction à \( \mathfrak{h \times h}\) de la forme bilinéaire fondamentale de \( \mathfrak{g}\) étant non dégénérée, le déterminant det \( (m_{ij} )\) est \( \neq 0\) ; il en résulte que les \( c_{i}\) sont rationnels. En particulier, pour toute racine \( \alpha\) , \( H_{\alpha}\) est combinaison linéaire à coefficients rationnels de \( H_{\alpha_{1}} , \cdots , H_{\alpha_{n}}\) , qui sont linéairement indépendants. Soit \( H\) un élément de \( \mathfrak{h_{0}}\) ; tous les \( \alpha \left( H \right)\) sont donc rationnels. Si \( m_{\alpha}\) est la dimension de l'espace des éléments de \( \mathfrak{g}\) qui appartiennent à \( \alpha\) , on a \( \left\langle H , H \right\rangle = \text{Tr } \left( \text{ad } H \right)^{2} = \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left( \alpha \left( H \right) \right)^{2}\) ; et, si tous les \( \alpha \left( H \right)\) sont nuls, \( H\) est dans le centre de \( \mathfrak{g}\) , d'où \( H = 0\) . La prop. 1 est donc démontrée.

Cela résulte immédiatement de la dernière assertion du th. 3.

Il résulte du th.4 que le groupe de Weyl permute entre elles les racines de \( \mathfrak{g}\) . Puisqu'il existe \( r\) racines linéairement indépendantes (où \( r = \dim \mathfrak{h^{\ast}_{0}}\) ), le groupe de Weyl est représenté fidèlement comme groupe de permutations des racines et est par suite fini.

C'est le groupe de Weyl qui va servir à classifier les algèbres semi-simples. Nous verrons que tout groupe fini d'isomètries d'un espace euclidien (sur le corps des rationnels) qui est engendré par des symétries par rapport à des hyperplans est le groupe de Weyl d'une algèbre de Lie semi-simple (sur le corps \( K\) ).

Déterminons les entiers \( p,q\) comme dans la démonstration du th. 3. Soit \( p^{\prime} \) le plus grand entier \( \geqslant \) tel que \( w + p^{\prime} \alpha\) soit un poids, et soit \( y^{\prime}\) un vecteur appartenant à ce poids. Il existe alors un \( q^{\prime} \geqslant 0\) tel que \( \left( \rho \left( Y \right) \right)^{i}y^{\prime} \neq 0\) pour \( 0 \leqslant i \leqslant p^{\prime} + q^{\prime}\) et \( q^{\prime} - p^{\prime} = q - p\) (lemme 7, §16). En particulier \( \left( \rho \left( Y \right) \right)^{P^\prime}y^{\prime}\) est \( \neq 0\) et appartient à \( w\) ; ce vecteur est donc de la forme \( ay\) , \( a \neq 0\) , et on voit que \( \left( \rho \left( Y \right) \right)^{q^{\prime}}y \neq 0 \) , d'où \( q^{\prime} \leqslant q\) ; on a donc \( p^{\prime} \leqslant p\) , d'où \( p^{\prime} = p\) . On voit de même que le plus grand \( q^{\prime} \geqslant 0\) tel que \( w - q^{\prime}\alpha\) soit un poids est \( q\) .

Choisissons \( X\) et \( Y\) comme dans la démonstration du th. 3, et soit \( X^{\prime}\) un élément \( \neq 0\) appartenant à \( \alpha\) . Soient \( p\) et \( q\) les plus grands entiers \( \geqslant 0\) tels que \( \left( \text{ ad } X \right)^{p}X^{\prime} \neq 0\) et \( \left( \text{ad } Y \right)^{q} X^{\prime} \neq 0\) respectivement. Il résulte alors du lemme 1, § 16 que \( \alpha \left( H_{\alpha} \right) = \left( 1 / 2 \right) \left( q-p \right) \alpha \left( H_{\alpha} \right)\) , d'où \( q - p = 2\) , \( q \geqslant 2\) et \( \left[ X^{\prime} , Y \right] \neq 0\) . Or, si \( \alpha\) était de multiplicité \( \geqslant 1\) , il y aurait un \( X^{\prime} \neq 0\) appartenant à \( \alpha\) tel que \( \left\langle X^{\prime} , Y \right\rangle = 0\) , d'où \( \left[ X^{\prime} , Y \right] = 0\) en vertu de la prop. 2, § 15.

Corollaire 1. Soient \( X\) et \( Y\) des éléments \( \neq 0\) de \( \mathfrak{g}\) qui appartiennent à des racines \( \alpha \neq 0\) et \( \beta \neq 0\) telles que \( \alpha + \beta\) soit une racine. On a alors \( \left[ X, Y \right] \neq 0 \) .

Corollaire 2. Soit \( \alpha \) une racine \( \neq 0\) de \( \mathfrak{g}\) . Les seules racines de \( \mathfrak{g}\) qui sont linéairement dépendantes de \( \alpha\) sont \( \alpha\) , \( 0\) et \( - \alpha\) .

Soit \( G^{\prime}\) le groupe engendré par \( s_{1} , \cdots , s_{m}\) , et soit \( x\) un point d'une chambre quelconque. Parmi tous ces les transformés de \( x\) par les opérations de \( G^{\prime}\) , soit \( x^{\prime}\) l'un de ceux qui sont les plus voisins de \( x_{0}\) . Les transformations de \( G^{\prime}\) étant isométriques, on a \( \parallel x^{\prime} - x_{0} \parallel \leqslant \parallel x^{\prime} - s_{i}x_{0} \parallel\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant m\) ). Or \( P_{i}\) est le lieu des points équidistants de \( x_{0} \) et de \( s_{i}x_{0}\) , et \( x^{\prime}\) ne peut appartenir à \( P_{i}\) ; il est donc du même côté de \( P_{i}\) que \( x_{0}\) . Ceci étant vrai pour tout \( i\) , on a \( x^{\prime} \in C\) , ce qui montre que \( G^{\prime}\) transforme les chambres transitivement. Or tout \( P \in E \) est mur d'au moins une chambre. Soit en effet \( x\) un point de \( P\) qui n'appartient à aucun \( P^{\prime} \neq P\) de \( E\) , et soit \( y\) un point non dans \( P\) . Il existe un \( t\) rationnel tel que \( x\) et \( x + ty\) soient du même côté de tous les \( P^{\prime} \neq P\) de \( E\) ; \( P\) est alors un mur de la chambre qui contient \( x + ty\) . Il existe donc une transformation de \( G^{\prime}\) qui transforme \( P\) en l'un des \( P_{i}\) ; il en résulte que la symétrie par rapport à \( P\) est transformée par un élément de \( G^{\prime}\) en l'une des \( s_{i}\) , donc est dans \( G^{\prime}\) . Ceci étant vrai pour tout \( P \in E\) , on a \( G^{\prime} = G\) .

Observons d'abord que, si \( a\) et \( b\) sont des nombres rationnels \( > 0\) , il existe un \( x \in C\) tel que \( L_{i} \left( x \right) = a \) , \( L_{j} \left( x \right) = b\) . En effet, il résulte de ce que nous avons vu que \( P_{i}\) contient un point \( y\) tel que \( L_{k} \left( y \right) > 0\) pour \( k \neq i\) ; multipliant \( y\) par un scalaire convenable, on peut supposer que \( L_{j} \left( y \right) = 2b\) . On voit de même qu'il existe un \( z \in P_{j}\) tel que \( L_{i} \left( z \right) = 2a\) , \( L_{k} \left( z \right) > 0\) pour \( k \neq j\) ; il suffit alors de prendre pour \( x\) le milieu du segment \( \overline{yz}\) . Ceci dit, soit \( x_{i}\) le vecteur orthogonal à \( P_{i}\) tel que \( L_{i} \left( x_{i} \right) = 1 \) ; on voit tout de suite que \( s_{i}P_{i}\) est l'hyperplan d'équation \( L_{j} - 2 L_{j} \left( x_{i} \right) L_{i} = 0\) . Cet hyperplan ne peut contenir aucun point de \( C\) ; il en résulte que \( L_{j} \left( x_{i} \right) \leqslant 0\) , d'où \( \left\langle L_{i} , L_{j} \right\rangle > 0\) .

De plus en observera que le groupe engendré par \( s_{i}\) et \( s_{j}\) conserve le plan \( \pi\) (à deux dimensions) orthogonal à l'intersection de \( P_{i}\) et de \( P_{j}\) . L'opération \( s_{i}s_{j} \) est d'ordre fini \( m_{ij}\) et sa restriction à \( \pi\) peut se représenter (par rapport à une base dans \( \pi\) ) par une matrice de degré 2 à coefficients rationnels. Les racines caractéristiques de cette matrice sont quadratiques sur le corps des rationnels, et l'une au moins est une racine primitive \( m_{ij}\) -ième de l'unité. Il ne résulte que \( m_{ij}\) ne peut avoir que l'une des valeurs \( 2\) , \( 3\) , \( 4\) ou \( 6\) .

On peut supposer \( L_{1} , \cdots , L_{r}\) linéairement indépendants. Nous allons montrer que, si \( L\) est une fonction linéaire sur \( V\) telle que \( \left\langle L, L_{i} \right\rangle \geqslant 0\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ), les coefficients \( a_{1} , \cdots , a_{r}\) de l'expression \( L = \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} a_{i} L_{i} \) de \( L\) sont tous \( \geqslant 0\) . Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi ; on peut alors supposer que \( L = \sum^{h}_{i = 1} a_{i} L_{i} - \sum^{\mathfrak{x}}_{i = h + 1} a^{\prime}_{i} L_{i} \) , où \( h < r\) , \( a_{i} \geqslant 0\) si \( i \leqslant h\) , \( a^{\prime}_{i} > 0\) si \( i > h\) . Posons \( L^{\prime} = \sum^{h}_{i = 1} a_{i} L_{i}\) et \( L^{\prime\prime} = \sum^{\mathfrak{x}}_{ i = h + 1} a^{\prime}_{i} L_{i}\) , d'où \( L^{\prime\prime} = L^{\prime} - L\) . Si \( i > h\) , on a \( \left\langle L^{\prime} , L_{i} \right\rangle \leqslant 0\) parce que \( \left\langle L_{j} , L_{i} \right\rangle \leqslant 0 \) si \( j \leqslant h\) , et \( \left\langle L , L_{i} \right\rangle \geqslant 0\) par hypothèse. On a donc \( \left\langle L^{\prime\prime} , L_{i} \right\rangle \leqslant 0\) ( \( h + 1 \leqslant i \leqslant r\) ), d'où \( \left\langle L^{\prime\prime} , L^{\prime\prime} \right\rangle \leqslant 0\) , \( L^{\prime\prime} = 0\) , ce qui amène à une contradiction. Ceci dit, si on avait \( m > r\) , on pourrait écrire \( L =_{r + 1} = \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} a_{i} L_{i}\) , et il résulterait de ce qu'on vient de démontrer et du fait que \( \left\langle L_{r + 1} , L_{i} \right\rangle \leqslant 0\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) que les \( a_{i} \) seraient tous \( \leqslant 0\) , ce qui est impossible puisque \( L_{r + 1}\) est positif en tout point de \( C\) .

Puisque \( m = r\) , il est clair qu'étant donnés des nombres rationnels \( a_{i} > 0\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant m\) ), il existe un \( x \in C\) tel que \( L_{i} \left( x \right) = a_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant m\) ). Puisque tout \( L_{P}\) ( \( P \in E\) ) est positif sur \( C\) , on en conclut que les \( P_{P}\) ( \( P \in E\) ) sont des combinaisons linéaires à coefficients \( \geqslant 0\) de \( L_{1} , \cdots , L_{r}\) .

nous n'aurons pas besoin de ce résultat dans la suite (en fait on peut le démontrer au moyen de la théorie des alg. de Lie) ; il n'en serait pas moins intéressant d'avoir une démonstration directe élémentaire ; au concours !.

Nous pouvons supposer que le corps de base est celui des réels (au lieu des rationnels). Chaque chambre découpe sur la sphère unité un simplexe, et on obtient ainsi une subdivision simpliciale de la sphère unité. Considérons la subdivision cellulaire duale de cette subdivision simpliciale. Les sommets de la subdivision duale correspondent aux chambres ; si \( A\) et \( A^{\prime}\) sont deux sommets qui sont les extrêmités d'une arête, les chambres qui contiennent \( A\) et \( A^{\prime}\) ont un mur commun, et nous ferons correspondre à l'arête \( AA^{\prime}\) la symétrie par rapport à ce mur commun, qui est une opération de \( G\) . Si \( \lambda\) est un chemin formé d'arêtes, obtenu en parcourant successivement les arêtes \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{h}\) nous ferons correspondre à \( \lambda\) l'élément \( s = t_{h} \cdots t_{1}\) de \( G\) , où \( t_{i}\) est la symétrie qui correspond à \( \alpha_{i}\) . Si \( A\) et \( A^{\prime}\) sont respectivement l'origine et l'extrémité de \( \lambda\) , \( s\) transforme la chambre qui contient \( A\) en celle qui contient \( A^{\prime}\) . Si \( \lambda\) et \( \lambda^{\prime}\) sont deux chemins telles que l'origine de \( \lambda^{\prime}\) soit l'extrémité de \( \lambda\) , l'élément de \( G\) qui correspond au chemin obtenu en décrivant d'abord \( \lambda\) puis \( \lambda^{\prime}\) est \( s^{\prime} s\) , où \( s\) et \( s^{\prime}\) sont les éléments qui correspondent à \( \lambda\) et à \( \lambda^{\prime}\) . Soit \( A_{0}\) un sommet quelconque de la subdivision duale, correspondant à une chambre \( C_{0}\) . Tout élément de \( G\) peut alors se représenter comme l'élément correspondant à un chemin issu de \( A_{0}\) . Considérons en effet un chemin \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{h}\) , issu de \( A_{0}\) et obtenu en parcourant successivement les arêtes \( \alpha_{1} , \cdots \alpha_{h}\) . Soient \( s_{1} , \cdots , s_{r}\) les symétries par rapport aux murs de \( C_{0}\) ; soit \( t_{1} = e\) (l'élément neutre), et soit \( t_{k}\) l'élément qui correspond au chemin \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k - 1}\) . Les symétries par rapport aux murs de \( t_{k} C_{0}\) sont les \( t_{k} s_{i} t^{-1}_{k}\) ; l'élément de \( G\) qui correspond au chemin considéré est donc de la forme \( t_{h-1} s_{i \left( h \right) } t^{-1}_{h-1} . t_{h-2} s_{i \left( h - 1 \right) } t^{-1}_{h-2} \cdots , s_{i \left( 1 \right)} . = s_{i \left( 1 \right) } \cdots s_{i \left( h \right) }\) et tout élément de \( G\) peut se mettre sous cette forme. Les cellules de dimension 2 de la subdivision duale correspondent à des faces de dimension \( r - 3 \) de la subdivision au moyen des chambres ; une telle face est dans l'intersection \( P \cap P^{\prime}\) de deux hyperplans qui sont des murs d'une chambre. Soient \( s\) et \( t\) les symétries par rapport à ces hyperplans ; \( st\) est alors d'ordre \( m\) égal à 2, 3, 4 ou 6, et on voit tout de suite que l'opération de \( G\) qui correspond au chemin qui fait une fois le tour d'une cellule de dimension 2 de la subdivision duale est \( \left( st \right)^{m} = e\) (l'élément neutre). Ceci dit, si \( r > 2\) , la sphère unité est simplement connexe. Le groupe de Poincaré du squelette à deux dimensions de la subdivision duale se réduit donc à son élément neutre ; il en résulte que tout chemin fermé d'arêtes peut s'écrire comme combinaisons de chemine de la forme \( \lambda \beta \lambda^{-1}\) , où \( \lambda\) conduit de l'origine \( A_{0}\) à un sommet d'une 2-cellule, \( \beta\) est le chemin qui fait le tour de cette 2-cellule et \( \lambda^{-1}\) ramène à \( A_{0}\) . On en déduit que l'opération de \( G\) autre que l'élément neutre ne transforme une chambre en elle-même. La propriété est encore vraie si \( r = 2 \) (vérification triviale). De plus, on voit tout de suite que deux points distincts de la frontière d'une chambre ne peuvent pas être transformés l'un dans l'autre par \( G\) , donc que \( \overline{C}\) est un domaine fondamental. Enfin, le raisonnement montre que toutes les relations entre les générateurs \( s_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r \) ) de G sont des conséquences des relations \( \left( s_{i} s_{j} \right)^{m_{i,j}} = 1\) .

Soit \( x_{0}\) un point de \( C\) . C'est un résultat classique que l'ensemble des points \( x\) qui sont strictement plus voisins de \( x_{0}\) que de tous ses transformés est l'intérieur d'un domaine fondamental ; ce domaine fondamental est contenu dans \( \overline{C}\) (comme il résulte du raisonnement par lequel on à établi que \( G\) permute transitivement les chambres). Il est donc identique à \( \overline{C}\) . On en conclut tout de suite que, si \( x \in C\) , on a \( \left\langle x , x_{0} \right\rangle \left\langle sx , x_{0} \right\rangle\) pour tout \( x_{0} \in C\) et tout \( s \in G\) . Si nous désignons par \( x_{i}\) les éléments qui correspondent aux \( L_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) par l'isomorphisme entre le dual de \( V\) et \( V\) , on voit, en faisant usage de la prop. 1, que, si \( x \in \overline{C}\) , \( x - sx\) est une combinaison des \( x_{i}\) à coefficients tous \( \geqslant 0\) . C'est cette propriété qu'il serait désirable d'établir directement. ]

S'il en est ainsi, un raisonnement classique montre que \( G\) laisse invariante une forme quadratique définie positive à coefficients rationnels, donc qu'il est engendré par des symétries (dans un espace euclidien rationnel).

Tous les systèmes fondamentaux se déduisent de l'un d'entre eux par les opérations du groupe \( G\) .

1) La condition est nécessaire. Supposons que \( P^{\ast}_{\alpha_{1}} , \cdots , P^{\ast}_{\alpha_{r}} \) forment les murs d'une chambre \( C\) et que \( \left\langle w , \alpha_{i} \right\rangle > 0\) pour \( w \in C\) . Il résulte alors de la prop.1, §18 que, pour toute racine \( \alpha \neq 0\) , \( L_{\alpha}\) est une combinaison linéaire à coefficients soit tous \( \geqslant 0\) soit tous \( \leqslant 0\) de \( L_{\alpha_{1}} , \cdots , L_{\alpha_{1}}\) ; et notre assertion résulte de ce que l'application \( \alpha \rightarrow L_{\alpha} \) est un isomorphisme.

2) La condition est suffisante. Car, si elle est satisfaite, les \( w \in \mathfrak{h^{\ast}_{0}}\) tels que \( \left\langle w , \alpha_{i} \right\rangle > 0\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) forment évidemment une chambre.

Il résulte immédiatement de la prop.1 que \( \alpha_{j} - \alpha_{i}\) n'est pas une racine si \( i \neq j\) ; la prop.2 résulte donc du th.3, § 17.

Pour chacune des racines \( \alpha_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ), on peut trouver des éléments \( X_{i} , Y_{i}\) de \( \mathfrak{g}\) appartenant respectivement aux racines \( \alpha_{i}\) et \( - \alpha_{i}\) tels que \( \left[ X_{i} , Y_{i} \right] = H_{i}\) . On a \( \alpha_{j} \left( H_{i} \right) = - \alpha_{ij}\) ; de plus, \( \alpha_{j} - \alpha_{i}\) n'étant pas une racine si \( i \neq j\) , \( X_{j}\) commute avec \( Y_{i}\) . On a donc les formules suivantes : \begin{multline*} \left[ H_{i} , X_{j} \right] = - \alpha_{ij} X_{j} \qquad \left[ H_{i} , Y_{j} \right] = a_{ij} Y_{j} \qquad \left[ H_{i} , H_{j} \right] = 0 \left[ X_{i} , Y_{i} \right] = H_{i} \qquad \text{(} 1 \leqslant i \text{, } j \leqslant r \text{)} \\ \left[ X_{i} , Y_{j} \right] = 0 \text{ si } i \neq j \tag{4} \end{multline*}

Montrons que les éléments \( H_{i}\) , \( X_{i}\) , \( Y_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) engendrent \( \mathfrak{g}\) . Soit \( \alpha\) une racine \( \neq 0 \) ; posons \( \alpha = \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} c_{i} \alpha_{i}\) . Si les \( c_{i}\) sont tous \( \geqslant 0\) , les \( \left\langle \alpha , \alpha_{i} \right\rangle \) ne peuvent être tous \( \leqslant 0\) (prop.1, §18); il y a donc dans ce cas un \( i\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) tel que \( \left\langle \alpha , \alpha_{i} \right\rangle > 0\) ; il en résulte en vertu du th.3, §17 que \( \alpha - \alpha_{i}\) est une racine. Si \( \alpha - \alpha_{i} \neq 0\) , soit \( X^{\prime}\) un élément \( \neq 0\) appartenant à \( \alpha - \alpha_{i}\) ; on a alors \( \left[ X_{i} , X^{\prime} \right] \neq 0\) (cor.1 à la prop.3, §17), et \( \left[ X_{i} , X^{\prime} \right]\) appartient à \( \alpha\) . On voit de même que, si les \( c_{i}\) sont tous \( \leqslant 0\) , il y a un \( i\) tel que \( \alpha + \alpha_{i}\) soit une racine \( \beta^{\prime}\) . Si \( \beta^{\prime} \neq 0\) , il y a un élément \( \neq 0\) appartenant à \( \alpha\) qui est de la forme \( \left[ Y_{i} , Y^{\prime} \right]\) , où \( Y^{\prime}\) appartient à \( \beta^{\prime}\) . Procédant alors par récurrence sur \( \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} | c_{i} | \) , et se souvenant que toute racine \( \neq 0\) est de multiplicité 1, on voit que pour toute racine \( \alpha \neq 0\) , les éléments appartenant à \( \alpha\) appartiennent à l'algèbre engendrée par les \( H_{i}\) , \( X_{i}\) , \( Y_{i}\) , ce qui démontre notre assertion. On dit que les éléments \( H_{i}\) , \( X_{i}\) , \( Y_{i}\) forment un système canonique de générateurs de \( \mathfrak{g}\) .

Supposons réciproquement qu'une algèbre de Lie \( \mathfrak{g}\) soit engendrée par \( 3r\) éléments \( H_{i}\) , \( X_{i}\) , \( Y_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) liés par les relations (4) ci-dessus, les \( a_{ij}\) formant un système d'entiers de Cartan. Soit \( E\) l'ensemble des \( i\) tels que \( H_{i} \neq 0 \) ; si \( 1 \in E\) , on a \( X_{i} \neq 0\) , \( Y_{i} \neq 0\) (car \( \left[ X_{i} , Y_{i} \right] = H_{i}\) ); si \( j \not\in E \) , on a \( X_{j} = Y_{} = 0\) , car \( 2 X_{j} = \left[ H_{j} , X_{j} \right]\) , \( 2 Y_{j} = - \left[ H_{j} , Y_{j} \right]\) . Si \( i \in E\) , \( j \not\in E\) , on a \( \left[ H_{j} , X_{i} \right] = - a_{ij} X_{i}\) , d'où \( a_{ij} = 0 \) ; on sait qu'il en résulte que \( a_{ij} \) (cf. fin du §18). L'algèbre \( \mathfrak{g}\) est donc engendrée par les \( H_{i}\) , \( X_{i}\) , \( Y_{i}\) pour \( i \in E\) , et les \( a_{ij} \) pour \( i \in E\) , \( j \in E\) forment un système d'entiers de Cartan. Soit \( \mathfrak{h}\) le sous-espace engendré par \( H_{1} , \cdots , H_{r}\) ; c'est une sous-algèbre abélienne de \( \mathfrak{g}\) . Appelons "purs" les éléments \( X\) de \( \mathfrak{g}\) tels que \( \left[ H , X \right] = \alpha \left( H \right) X \) pour tout \( H \in \mathfrak{h}\) , \( \alpha\) étant une fonction linéaire sur \( \mathfrak{h}\) ; nous dirons que \( X\) appartient à \( \alpha\) . Si \( X\) et \( Y\) sont des éléments purs qui appartiennent aux fonctions \( \alpha\) et \( \beta \) , \( \left[X,Y \right] \) est pur et appartient à \( \alpha + \beta\) . Il en résulte que l'espace engendré par les éléments purs est une sous-algèbre \( \mathfrak{g_{1}}\) de \( \mathfrak{g}\) . Or \( X_{i}\) et \( Y_{i}\) sont purs et appartiennent à des fonctions \( \alpha_{i}\) et \( - \alpha_{i}\) telles que \( \alpha_{i} \left( H_{i} \right) = - a_{ij}\) ; on en conclut que \( \mathfrak{g_{1} = g}\) . Soit \( \mathfrak{x}\) l'algèbre engendrée par les \( Y\) \( X_{i}\) , et \( \mathfrak{y}\) l'algèbre engendrée par les \( Y_{i}\) . Il est clair que \( \mathfrak{y + h}\) est une sous-algèbre de \( \mathfrak{g}\) . On voit tout de suite que l'ensemble \( \mathfrak{y_{1}}\) des \( Y \in \mathfrak{y}\) tels que \( \left[ X_{i} , Y \right] \in \mathfrak{y + h}\) pour tout \( i\) est une sous-algèbre de \( \mathfrak{y}\) ; or \( \mathfrak{y_{1}}\) contient les \( Y_{j} \) , puisque \( \left[ X_{i} , Y_{j} \right] = \delta_{ij} H_{i}\) . On a donc \( \mathfrak{y_{1} = y}\) . On verrait de même que \( \left[ Y_{i} , \mathfrak{x} \right] \subset \mathfrak{h + x}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ). Il en résulte immédiatement que \( \mathfrak{y + h + x}\) est une sous-algèbre de \( \mathfrak{g}\) , donc que \( \mathfrak{y + h + x = g}\) . Supposons pour fixer les idées que \( E = \lbrace 1 , \cdots , h \rbrace\) , où \( h\) est un entier \( \leqslant r\) . Les \( a_{ij} \) , pour \( i , j \leqslant h\) , formant un système d'entiers de Cartan, on a \( \text{det} \left( a_{ij} \right)_{1 \leqslant i j \leqslant h} \neq 0\) , ce qui montre que \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{h}\) sont linéairement indépendants. Or \( \mathfrak{x}\) (resp. \( \mathfrak{y}\) est engendré en tant qu'espace vectoriel par des éléments purs qui appartiennent à des combinaisons linéaires à coefficients entiers tous \( \geqslant 0\) (resp.: tous \( \leqslant 0\) ) et non tous nuls de \( \alpha_{1} , \cdots \alpha_{h}\) ; il en résulte tout de suite que les seuls éléments de \( \mathfrak{g}\) qui commutent avec tous ceux de \( \mathfrak{g}\) \( \mathfrak{h}\) sont ceux de \( \mathfrak{h}\) : \( \mathfrak{h}\) est sous-algèbre abélienne maxima de \( \mathfrak{g}\) . De plus, puisque \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{h}\) sont linéairement indépendantes, aucun élément \( \neq 0\) de \( \mathfrak{h}\) n'est dans le centre de \( \mathfrak{g}\) ; ce dernier se réduit donc à \( \lbrace 0 \rbrace \) .

On voit que, si on sait par ailleurs que \( \mathfrak{g}\) est réductive en elle-même, on peut en conclure que \( \mathfrak{g}\) est semi-simple, que \( \mathfrak{h}\) est une algèbre de Cartan de \( \mathfrak{g} \) , que \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{h}\) forment un système fondamental de racines de \( \mathfrak{g}\) et que les entiers de Cartan correspondants sont les \( a_{ij} \) , \( 1 \leqslant i , j \leqslant h\) . Mais je ne sais pas si les conditions imposées entraînent d'elles-mêmes que \( \mathfrak{g}\) soit semi-simple. Au concours !

Nous savons déjà que ces nombres sont entiers. De plus, les \( s_{i} w = w - w \left( H_{i} \right) \alpha_{i}\) sont des poids de \( \rho\) (th.4, § 17) ; puisque \( w\) est dominant, on a \( w \left( H_{i} \right) \geqslant 0\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ).

Il est clair que \( \rho \left( Y_{i_{1}} \right) \cdots \rho \left( Y_{i_{m}} \right) x_{0}\) , s'il est \( \neq 0\) , appartient au poids \( w_{0} - \left( \alpha_{i_{1}} + \cdots + \alpha_{i_{m}} \right)\) . Il en résulte que \( V^{\prime}\) est appliqué dans lui-même par les \( \rho \left( H_{i} \right)\) ( \( 1 \leqslant i \bigvee r\) ). Il suffira donc de montrer que \( V^{\prime}\) est appliqué dans lui-même par les \( \rho \left( X_{i} \right)\) . Puisque \( w_{0}\) est dominant, \( w_{0} + \alpha_{i}\) n'est pas un poids de \( \rho\) , d'où \( \rho \left( X_{i} \right) x_{0} = 0\) . On a donc \[ \rho \left( X_{i} \right) \rho \left( Y_{i_{1}} \right) \cdots \rho \left( Y_{i_{m}} \right) x_{0} = \left[ \rho \left( X_{i} \right) , \rho \left( Y_{i_{1}} \right) \cdots \rho \left( Y_{i_{m}} \right) \right] x_{0} \text{.}\] Or on a \( \left[ \rho \left( X_{i} \right) , \rho \left( Y_{i_{k}} \right) \right] = \delta_{iik} \rho \left( H_{i} \right) \) et \( \left[ \rho \left( X_{i} \right) , \rho \left( Y_{i_{1}} \right) \cdots \rho \left( Y_{i_{m}} \right) \right]\) est la somme des \( m\) produits déduits de \( \rho \left( Y_{i_{1}} \right) \cdots \rho \left( Y_{i_{m}} \right)\) en remplaçant l'un des facteurs par le crochet de \( \rho \left( X_{i} \right)\) avec ce facteur. Il en résult que \( \rho \left( X_{i} \right)\) applique \( V^{\prime}\) dans lui-même. Puisque \( \rho\) est simple, on a \( V^{\prime} = V\) .

Le théorème d'isomorphie sera en fait démontré sous la forme plus forte suivante : soient \( \mathfrak{g}\) et \( \mathfrak{g^{\prime}}\) des algèbres de Lie semi-simples qui admettent les entiers de Cartan \( a_{ij} \) , et soient \( \lbrace H_{i} , X_{i} , Y_{i} \rbrace\) et \( \lbrace H^{\prime}_{i} , X^{\prime}_{i} , Y^{\prime}_{i} \rbrace\) des systèmes de générateurs canoniques de \( \mathfrak{g}\) et de \( \mathfrak{g^{\prime}}\) lié par les formules (4) du § 19; il existe alors un isomorphisme de \( \mathfrak{g}\) sur \( \mathfrak{g^{\prime}} \) qui applique \( X_{i}\) sur \( X^{\prime}_{i}\) , \( Y_{i}\) sur \( Y^{\prime}_{i} \) et \( H_{i}\) sur \( H_{i}^{\prime}\) . Appliquant ceci au cas où \( \mathfrak{g^{\prime} = g}\) , \( H_{i}^{\prime} = H_{i}\) , \( X^{\prime}_{i} = Y_{i}\) , \( Y^{\prime}_{i} = X_{i}\) ,, on trouve qu'il y a un automorphisme de \( \mathfrak{g}\) qui applique \( H_{i}\) sur \( - H_{i}\) , \( X_{i}\) sur \( Y_{i} \) et \( Y_{i}\) sur \( X_{i}\) ;

Soient donnés un système \( \left( a_{ij} \right)_{1 \leqslant i , j \leqslant r}\) d'entiers de Cartan et \( r\) entiers \( m_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) tous \( \geqslant 0\) . Si \( K\) est un corps donné de caractéristique 0, qui peut être par exemple le corps des rationnels, nous construisons un espace vectoriel de dimension \( r\) sur \( K\) , une base \( \lbrace Z_{1} , \cdots , Z_{r} \rbrace\) de cet espace et l'algèbre tensorielle \( T\) sur cet espace.

Nous désignerons par \( Q_{i}\) l'opérateur de multiplication à gauche par \( Z_{i}\) dans \( T\) ; les conditions imposées à \( \theta\) peuvent alors s'écrire \( \left[ \theta , Q_{j} \right] = \Phi_{j}\) , \( \theta \left( 1 \right) = t\) . On construit d'abord des opérateurs \( D_{i}\) tels que \( \left[ D_{i} , Q_{j} \right] = a_{ij} Q_{j} \) ( \( 1 \leqslant i , j \leqslant r\) ), \( D_{i} \left( 1 \right) = m_{1}\) . Montrons que ces opérateurs commutent entre eux. On a \[ \left[ \left[ D_{i} , D_{j} \right], Q_{k} \right] = a_{ik} \left[ Q_{k} , D_{j} \right] + a_{jk} \left[ D_{i} , Q_{j} \right] = 0 \] et \( \left[ D_{i} , D_{j} \right] \left( 1 \right) = 0\) ; il en résulte que \( \left[ D_{i} , D_{j} \right] = 0\) . On construit ensuite des opérateurs linéaires \( P_{i}\) tels que \( \left[ P_{i} , Q_{j} \right] = \delta_{ij} D_{i}\) , \( P_{i} \left( 1 \right) = 0\) . On a \[ \left[ \left[ P_{i} , D_{j} \right] Q_{k} \right] = \delta_{ik} \left[ D_{i}, D_{j} \right] + a_{jk} \left[ P_{i} , Q_{k} \right] = \delta_{ik} a_{jk} D_{i} \] d'où \( \left[ \left[ P_{i} , D_{j} \right] - a_{ji} P_{i}, Q_{k} \right] = 0\) ; de plus, \( \left[ P_{i} , D_{j} \right] - a_{ji} P_{i}\) applique 1 sur 0. On a donc \( \left[ P_{i} , D_{j} \right] = a_{ji} P_{i}\) , ou \( \left[ D_{i} , P_{j} \right] = - a_{ij} P_{j}\) . On voit donc que les \( D_{i}\) , \( P_{i}\) , \( Q_{j}\) sont liés par les mêmes formules ((4) du § 19) que les éléments d'un système de générateurs canonique d'une algèbre de Lie ayant les \( a_{ij}\) comme système d'entiers de Cartan.

Il résulte des formules \( \left[ D_{i} , Q_{j} \right] = a_{ij} Q_{j}\) que \( Q_{j}\) est isobare de poids \( - \alpha_{j} \) , où \( \alpha_{j} \left( D_{i} \right) = - a_{ij}\) ; puisque \( \left[ D_{i} , P_{j} \right] = - a_{ij} P_{j}\) , \( P_{i}\) est isobare de poids \( - \alpha_{j}\) . Puisque les \( a_{ij} \) sont des entiers de Cartan, \( \text{det} \left( a_{ij} \right) \neq 0\) ; d'autre part, \( Q_{1} , \cdots , Q_{r}\) sont évidemment linéairement indépendants. Il résulte donc des formules \( \left[ D_{i} , Q_{j} \right] = a_{ij} Q_{j}\) que \( D_{1}, \cdots , D_{r}\) sont linéairement indépendants ; de plus, les fonctions \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r} \) sont linéairement indépendantes. Nous définirons une structure de groupée ordonné sur \( W \) en appelant positifs les éléments de \( W\) qui sont des combinaisons de \( \alpha_{1}, \cdots , \alpha_{r}\) à coefficients rationnels \( \geqslant 0\) . Puisque \( w_{0}\) est isobare de poids \( w_{0}\) et \( Q_{j}\) homogène de degré \( - \alpha_{j}\) , on voit tout de suite que \( T\) est engendré (en tant qu'espace vectoriel) par ses éléments isobares, et que ces derniers sent tous de poids \( \leqslant w_{0}\) ; les seuls éléments isobares de poids \( w_{0}\) sont les scalaires. Soit \( T_{w}\) l'espace des éléments isobares de poids \( w\) ; on voit tout de suite que \( T\) est la somme directe des espaces \( T_{w}\) . On peut donc décomposer uniquement tout élément de \( T\) en ses composantes isobares. Un raisonnement classique montre que tout sous-espace de \( T\) engendré par des éléments isobares est isobare (i.e. les composantes isobares des éléments de l'espace sont encore dans l'espace). Nous désignerons par \( \underline{T}\) l'ensemble des \( z \in T\) qui possèdent la propriété suivante : pour tout \( M \in A\) , les composantes isobares \( \neq 0\) de \( Mz\) sont toutes de poids \( < w_{0}\) (strictement). Il est clair que \( \underline{T}\) est un sous-espace de \( T\) qui est appliqué dans lui-même par les opérateurs de \( A\) (nous dirons \( A\) -stable) et qui ne contient pas 1. De plus, tout élément de \( A\) étant somme d'éléments homogènes, \( \underline{T}\) est isobare, et il est clair que tout sous-espace \( A\) -stable isobare de \( T\) qui n'est pas dans \( \underline{T}\) contient 1, donc est identique à \( T\) . D'ailleurs, on voit facilement que, si \( z \in T\) , les composantes isobares de \( z\) sont contenues dans l'espace engendré par les \( D^{k}_{i}z\) ( \( 0 \leqslant k < \inf\) ), ce qui montre que tout sous-espace \( A\) -stable de \( T\) est isobare ; \( \underline{T}\) est donc le plus grand sous-espace \( A\) -stable \( \neq T \) de \( T\) . Nous poserons \( V = T / \underline{T}\) ; \( V\) est donc l'espace d'une représentation simple \( \rho\) de \( A\) . Nous poserons \( H_{i} = \rho \left( D_{i} \right)\) , \( X_{i} = \rho \left( P_{i} \right)\) , \( Y_{i} = \rho \left( Q_{i} \right)\) .

La partie essentielle de la démonstration consiste à établir que \( V\) est de dimension finie.

L'espace \( \underline{T}\) étant isobare, on a une notation d'élément isobare dans \( V = T / \underline{T}\) ; si \( w \in W\) , les éléments isobares de poids \( w\) de \( V\) sont les éléments de \( V_{w} = \left( T_{w} + \underline{T} \right) / \underline{T}\) ; \( V\) est somme directe des \( V_{w}\) et \( V_{w} = \lbrace 0 \rbrace\) si \( w\) n'est pas \( \leqslant w_{0}\) .

Introduisons maintenant le groupe \( G\) de transformations de \( W\) en lui-même engendré par les opérations \( s_{i}\) , définies par \( s_{i} \alpha_{j} = \alpha_{j} + a_{ij} \alpha_{i}\) ( \( 1 \leqslant i , j \leqslant r \) ) d'où \( s_{i} w = w - w \left( D_{i} \right) \alpha_{i}\) pour tout \( w \in W\) . Nous allons montrer que \( G \) permute entre eux les poids des éléments isobares \( \neq 0\) de \( V\) . Il suffira de montrer que, si \( w\) est le poids d'un élément isobare \( x \neq 0\) de \( V\) , \( s_{i} w\) est aussi le poids d'un élément isobare \( \neq 0\) de \( V\) . Supposons d'abord que \( w \left( D_{i} \right) \geqslant 0\) . Soit alors \( p\) le plus grand entier tel que \( x^{\prime} = X_{i}^{p} x \neq 0\) , et soit \( x_{k}^{\prime} ! Y_{i}^{k} x^{\prime}\) ( \( k = 0, 1 , \cdots\) ). On a \( \left[ H_{i} , X_{i} \right] = 2 X_{i}\) , etc..; il résulte donc des formules du §16 et du fait que \( X_{i} x^{\prime} = 0 \) que \( X_{i} x_{k + 1}^{\prime} = \left( k + 1\right) Y_{i}^{k} \left( H_{i} - k \right) x^{\prime} \) . Or \( x^{\prime}\) est isobare de poids \( w + p \alpha_{i}\) , d'où \( \left( H_{i} - k \right) x^{\prime} = \left( w \left( D_{i} \right) + 2 p - k \right) x^{\prime}\) , et \( X_{i} x_{k + 1}^{\prime} = \left( w \left( D_{i} \right) + 2 p - k \right) \left( k + 1 \right) x_{k}^{\prime} \) . Il résulte de là que \( x_{k}^{\prime}\) est \( \neq 0\) pour \( 0 \leqslant k \leqslant 2 p + w \left( D_{i} \right)\) , en particulier pour \( k = p + w \left( D_{i} \right)\) . Or, pour cette valeur de \( k\) , \( x_{k}^{\prime}\) est isobare de poids \( w - w \left( D_{i} \right) \alpha_{i} = s_{i} w\) . Si \( w \left( D_{i} \right) \leqslant 0\) , on procède de manière analogue en partant du plus grand \( q \geqslant 0\) tel que \( Y^{q}_{i} w = x^{\prime} \neq 0\) et en considérant les \( x_{k}^{\prime\prime} = X_{i}^{k} x^{\prime\prime}\) .

Nous allons maintenant utiliser le fait que les \( a_{ij}\) forment un système d'entiers de Cartan. Il en résulte que le groupe \( G\) est fini et que, pour tout \( w \in W\) , il y a un \( s \in G\) tel que \( \left( s x \right) \left( D_{i} \right) \geqslant 0\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ), ce qui entraîne que \( s w\) est positif (cf. prop.1, §18). Or posons \( w_{0} = \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} p_{i} \alpha_{i}\) ; les poids des éléments isobares de \( T\) (donc aussi de \( V\) ) sont de la forme \( w_{0} - \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} c_{i} \alpha_{i}\) , les \( c_{i}\) étant des entiers positifs ; si un tel poids est positif, on a \( c_{i} \leqslant p_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ), ce qui ne laisse qu'un nombre fini de possibilités. Par ailleurs, si \( w^{\prime} = w_{0} - \sum^{\mathfrak{x}}_{i= 1} c_{i} \alpha_{i} \) , les éléments isobares de poids \( w^{\prime}\) sont les combinaisons linéaires des \( Z_{i_{1}} \cdots Z_{i_{h}}\) , tels que \( \alpha_{i_{1}} + \cdots + \alpha_{i_{h}} = \sum^{\mathfrak{x}}_{1} c_{i} \alpha_{i}\) , ce qui montre que \( T_{w^{\prime}}\) , donc aussi \( V_{w^{\prime}}\) , est de dimension finie. Le groupe \( G\) étant fini, on voit qu'il n'y a qu'un nombre fini d'éléments de \( W\) qui soient des poids d'éléments \( \neq 0\) de \( V\) , et que les espaces \( V_{w}\) sont finis. On en conclut que l'espace \( V\) est de dimension finie.

Soit \( \mathfrak{g}\) l'algèbre de Lie d'endomorphismes de \( V\) engendrée par les \( H_{i}\) , \( X_{i} \) , \( Y_{i}\) ; l'application identique de \( \mathfrak{g}\) dans l'espace des endomorphismes de \( V\) est donc une représentation, évidemment simple, de \( \mathfrak{g}\) . On en conclut que \( \mathfrak{g}\) est réductive en elle-même, et par suite, en vertu de ce qui a été vu au § 19, que \( \mathfrak{g}\) est semi-simple et admet pour entiers de Cartan les entiers \( a_{ij}\) pour \( i , j \in E\) , où \( E\) est l'ensemble des indices \( i\) tels que \( H_{i} \neq 0\) . Nous désignerons désormais par \( \mathfrak{g} \left( a_{ij} ; m_{i} \right)\) l'algèbre de Lie que nous venons de construire.

Si nous prenons les \( m_{i}\) tous \( > 0\) , les \( H_{i}\) sont tous \( \neq 0\) .

En effet, si on désigne par \( c_{0}\) la classe de \( 1\) module \( \underline{T}\) , on a \( H_{i} x_{0} = m_{i} x_{0}\) . Nous avons donc démontré l'existence d'une algèbre de Lie semi-simple admettant les entiers de Cartan \( a_{ij}\) .

Soit maintenant \( \tilde{\mathfrak{g}}\) une algèbre de Lie semi-simple admettant les entiers de Cartan \( a_{ij}\) , et soit \( \lbrace \tilde{H}_{i} , \tilde{X}_{i} , \tilde{Y}_{} \rbrace\) un système de générateurs canonique de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) relatif aux entiers \( a_{ij}\) . Soit de plus \( \tilde{\rho}\) une représentation simple de \( \mathfrak{g}\) , et \( \tilde{w}_{0}\) un poids dominant de \( \tilde{\rho}\) . Soit \( \tilde{V}\) l'espace de la représentation \( \tilde{\rho}\) ; posons \( \tilde{D}_{i} = \tilde{\rho} \left( \tilde{H}_{i} \right)\) , \( \tilde{P}_{i} = \tilde{\rho} \left( \tilde{X}_{i} \right)\) , \( \tilde{Q}_{i} = \tilde{\rho} \left( \tilde{Y}_{i} \right)\) , et soit \( \tilde{x}_{0}\) un vecteur \( \neq 0\) de poids \( \tilde{w}_{0}\) . Nous avons vu que \( \tilde{V}\) est engendré par les vecteurs \( \tilde{Q}_{i_{1}} \cdots \tilde{Q}_{1_{m}} \tilde{x}_{0} \) ; il y a donc un homomorphisme \( \phi\) de \( T\) sur \( V\) qui applique \( 1\) sur \( x_{0}\) et qui est tel que \( \phi \left( Q_{i} z \right) = \tilde{Q}_{i} \phi \left( z \right)\) pour tout \( z \in T \) . Posons \( m_{i} = \tilde{w}_{0} \left( H_{i} \right)\) , et appliquons les constructions précédentes. Montrons que \( \phi \left( D_{i} z \right) = \tilde{D}_{i} \phi \left( z \right)\) pour tout \( z \in T\) . C'est vrai pour \( z = 1\) ; et on voit tout de suite que, si c'est vrai pour \( z\) , c'est vrai pour \( Z_{j} z\) (en vertu des formules \( \left[ D_{i} , Q_{j} \right] = a_{ij} Q_{j} , \quad \left[ \tilde{D}_{i} , \tilde{Q}_{j} \right] = a_{ij} Q_{j}\) ). On voit de même que \( \phi \left( P_{i} z \right) = \tilde{P}_{i} \phi \left( z \right)\) pour tout \( z \in T\) . Le noyau de \( \phi\) est donc \( A\) -stable, donc contenu dans \( \underline{T}\) . Puisque \( V\) est espace de représentation simple de \( \mathfrak{g}\) , on voit tout de suite que le noyau est \( \underline{T}\) , donc qu'il y a un isomorphisme de \( V\) avec \( \tilde{V}\) qui fait se correspondre \( H_{i}\) et \( \tilde{H}_{i}\) , \( X_{i}\) et \( \tilde{X}_{i}\) , \( Y_{i}\) et \( \tilde{Y}_{i}\) . Il en résulte en particulier que deux représentations simples de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) de même poids dominant sont équivalentes.

Supposons maintenant que les entiers \( a_{ij}\) ferment un système de Cartan simple. Alors, si les \( m_{i}\) ne sont pas tous nuls, l'ensemble désigné plus haut par \( E\) n'est pas vide, donc est l'ensemble de tous les indices de 1 à \( r\) . Or la dimension d'une algèbre semi-simple peut se calculer dès qu'on connaît un système d'entiers de Cartan; en effet, si \( \alpha\) est une racine \( \neq 0\) , le nombre \( N\) des racines \( \neq 0\) est l'indice dans le groupe de Weyl du sous-groupe des opérations qui conservent \( \alpha\) , et la dimension de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) est \( N + r\) . On en déduit que, si les \( \left( a_{ij} \right)\) ferment un système simple et si \( \rho\) est une représentation \( \neq 0\) de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) , \( \tilde{\rho} \left( \tilde{\mathfrak{g}} \right)\) a la même dimension que \( \tilde{\mathfrak{g}}\) donc que \( \tilde{\rho}\) est fidèle. Or une algèbre de Lie semi-simple non simple a des représentations simples non fidèles ; on voit donc que, si le système \( \left( a_{ij} \right)\) est simple, \( \tilde{\mathfrak{g}}\) est simple (un fait qu'il est d'ailleurs facile d'établir directement) et que deux algèbres simples admettant le même système d'entiers de Cartan sont isomorphes ; d'une manière plus précise, étant donnés des systèmes de générateurs canoniques de ces algèbres, il y a un isomorphisme de l'une sur l'autre qui fait se correspondre ces générateurs canoniques.

Si les \( a_{ij}\) ne forment pas un système simple, on peut décomposer \( \lbrace 1 , \cdots , r\) en parties disjointes \( E_{k}\) ( \( 1 \leqslant k \leqslant h\) ) telles que \( a_{ij} = 0 \) si \( i \in E_{k}\) , \( j \in E_{k^{\prime}}\) , \( k \neq k^{\prime} \) et que, pour chaque \( k\) , les \( a_{ij}\) pour \( i , j\) dans \( E_{k}\) forment un système simple. Soit \( \tilde{\mathfrak{g}}_{k}\) l'algèbre engendrée par les \( H_{i}\) , \( X_{i}\) , \( Y_{i}\) pour \( i \in E_{k}\) . Si \( i, j\) appartiennent à des ensembles \( E_{k}\) distincts, il résulte de \( a_{ij} = 0\) que \( \alpha_{i} + \alpha_{j}\) n'est pas une racine ( \( \alpha_{i}\) étant la racine de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) à laquelle appartient \( X_{i}\) ; cf.prop.2, § 19) ; on a donc \( \left[ X_{i} , X_{j} \right] = \left[ Y_{i} , Y_{j} \right] = 0\) . On en conclut que les éléments de \( \tilde{\mathfrak{g}}_{k}\) commutent avec ceux de \( \tilde{\mathfrak{g}}_{k^{\prime}}\) , si \( k^{\prime} \neq k\) , donc que \( \sum^{\mathfrak{h}}_{k = 1} \tilde{\mathfrak{g}}_{k}\) est une sous-algèbre de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) , et par suite que \( \sum^{\mathfrak{h}}_{k = 1} \tilde{\mathfrak{g}}_{k} =\tilde{\mathfrak{g}}\) et que les \( \tilde{\mathfrak{g}}_{k}\) sont des idéaux de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) . Les \( \tilde{\mathfrak{g}}_{k}\) sont donc semi-simples, et il est clair que les \( a_{ij}\) , \( i , j \in E_{k}\) , forment un système d'entiers de Cartan de \( \tilde{\mathfrak{g}}_{k}\) . Les \( \tilde{\mathfrak{g}}_{k}\) sont donc simples. Il résulte tout de suite de là et de ce qu'on a démontré plus haut que deux algèbres semi-simples qui ont les mêmes entiers de Cartan sent isomorphes (avec correspondance de systèmes de générateurs canongiques).

Enfin, quels que soient les \( m_{i}\) , l'algèbre \( \mathfrak{g} \left( a_{ij} ; m_{i}\right)\) admet un système d'entiers de Cartan composé des \( a_{ij}\) pour \( i , j\) dans \( E \) ; or \( E\) est évidemment la réunion de certains des \( R_{k}\) , ce qui prouve que \( \mathfrak{g} \left( a_{ij} ; m_{i} \right)\) est une image homomorphe de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) . On en conclut tout de suite que, si \( \tilde{w}_{0}\) est une fonction linéaire sur l'espace \( \mathfrak{h}\) engendré par les \( \tilde{H}_{i}\) telle que les \( \tilde{w}_{0} \left( \tilde{H}_{i} \right)\) soient des entiers \( \geqslant 0\) , il existe une représentation simple de \( \tilde{\mathfrak{g}}\) de poids dominant \( \tilde{w}_{0}\) . Les théorèmes 5 et 6 sont donc complètement démontrés. On notera de plus que, si les \( \tilde{w}_{0} \left( \tilde{H}_{i} \right) \) sont tous \( > 0\) , \( \tilde{\rho}\) est fidèle ; on voit donc que toute algèbre de Lie semi-simple admet une représentation simple fidèle (noter la différence avec le cas des algèbres associatives !).

On remarquera aussi que l'algèbre semi-simple \( \mathfrak{g} \left( a_{ij} ; m_{i} \right)\) possède une base dent les constantes de structure sont rationnelles (elle peut se déduire par extension du corps de base d'une algèbre de Lie sur le corps des rationnels) ; on voit donc que toute algèbre semi-simple sur un corps algèbriquement clos possède une base dont les constantes de structure sont rationnelles.

n°1. CERTAINES SOUS-ALGEBRES.

Soient \( \mathfrak{g}\) une algèbre de Lie semi-simple sur le corps algèbriquement clos \( K\) de caractéristique \( 0\) . Désignons par \( \mathfrak{h}\) une algèbre de Cartan de \( \mathfrak{g}\) et par \( T\) l'ensemble des racines \( \neq 0\) de \( \mathfrak{g}\) par rapport à \( \mathfrak{h}\) . Pour chaque \( \alpha \in R\) , soit \( X_{\alpha}\) un élément \( \neq 0\) de \( \mathfrak{g}\) appartenant à \( \alpha\) . Soit \( S\) une partie de \( R\) qui possède les propriétés suivantes : si \( \alpha \in S\) , on a \( - \alpha \in S\) ; si \( \alpha\) et \( \beta\) sont dans \( S\) et si \( \alpha + \beta \in R\) on a \( \alpha + \beta \in S\) . Soit \( \mathfrak{g}_{1}\) la sous-algèbre de \( \mathfrak{g}\) engendrée par les \( X_{\alpha}\) , pour \( \alpha \in S\) . Si nous désignons par \( \mathfrak{h}_{1}\) le sous-espace de \( \mathfrak{h}\) engendré par les \( H_{\alpha} \) , pour \( \alpha \in S\) (où \( H_{\alpha}\) est l'élément dual de \( \alpha\) ), il est clair que les éléments de \( \mathfrak{g}_{1}\) sont les sommes d'éléments de \( \mathfrak{h}_{1}\) et de combinaisons linéaires des \( X_{\alpha}\) pour \( \alpha \in S\) . L'algèbre \( \mathfrak{g}_{1}\) est semi-simple.

Ce résultat permet de construire certaines sous-algèbres semi-simples de \( \mathfrak{g}\) , mais pas toutes (cf. plus bas).

Considérons maintenant un système fondamental \( \lbrace \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{r} \rbrace\) de racines de \( \mathfrak{g}\) . Soit \( E\) une partie quelconque de \( \lbrace 1 , \cdots , r \rbrace\) , et soit \( S\) l'ensemble des racines \( \neq 0\) qui sont des combinaisons linéaires des racines \( \alpha_{i} \) pour lesquelles \( i \in E\) . Il est clair que \( S\) satisfait aux conditions énoncées plus haut, donc définit une sous-algèbre semi-simple \( \mathfrak{g}_{1}\) de \( \mathfrak{g}\) . On voit tout de suite que les restrictions à \( \mathfrak{h}_{1}\) des racines \( \alpha_{i}\) , \( i \in E\) , forment un système fondamental de racines de \( \mathfrak{g}_{1}\) ; les entiers de Cartan correspondants sont les entiers de Cartan de \( \mathfrak{g}\) pour les valeurs des indices appartenant à \( E\) .

On voit ainsi qu'une algèbre simple de type \( A_{r + 1}\) , (resp.: \( B_{r + 1}\) , \( C_{r + 1}\) , \( D_{r + 1}\) ) contient une sous-algèbre de type \( A_{r}\) (resp. : \( B_{r}\) , \( C_{r}\) , \( D_{r}\) ), et qu'une algèbre de type \( E_{8}\) (resp. : \( E_{7}\) ) contient une algèbre de type \( E_{7}\) (resp. : \( E_{6}\) ). Mais on ne découvre pas ainsi les inclusions importantes suivantes : \( G_{2} \subset D_{4} \subset B_{4} \subset F_{4} \subset E_{6} \) , non plus que les inclusions \( D_{r} \subset B_{r} \subset D_{ r+ 1} \) .

n°2. POIDS DOMINANTS FONDAMENTAUX.

Soit \( \lbrace \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r}\) un système fondamental de racines de \( \mathfrak{g}\) , et soit \( \lbrace H_{i} , X_{i} , Y_{i} \rbrace\) un système de générateurs canonique correspondant à ce système. Pour qu'une fonction linéaire \( w\) sur \( \mathfrak{h}\) soit poids dominant d'une représentation simple, il faut et suffit que les \( w \left( H_{i} \right)\) soient des entiers \( \geqslant 0 \) .

On appelle poids dominants fondamentaux les fonctions \( w_{i}\) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ) définies par \[ w_{i} \left( H_{j} \right) = \delta_{ij} \qquad \text{(} 1 \leqslant i , j \leqslant r \text{) ;} \] les représentations simples ayant ces poids dominants sont appelées les représentations simples fondamentales.

Rappelons que nous avons ordonné l'ensemble des combinaisons linéaires rationnelles des \( \alpha_{i}\) , en appelant positives les combinaisons à coefficients \( \geqslant 0\) . Soit \( w\) un élément minimal de l'ensemble des combinaisons \( \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} m_{i} w_{i}\) des \( w_{i}\) à coefficients entiers \( \geqslant 0\) non tous nuls, et soit \( \rho \) une représentation simple de poids dominant \( w\) . Si \( w^{\prime}\) est un poids quelconque de la représentation \( \rho\) , il y a une opération \( s\) du groupe de Veyl telle que \( \left( s w^{\prime} \right) \left( H_{i} \right) \geqslant 0 \) ( \( 1 \leqslant i \leqslant r\) ). Comme \( s w^{\prime}\) est un poids de \( \rho \) , on a \( s w^{\prime} \leqslant w\) , ce qui entraîne ou bien \( s w^{\prime} = w\) ou bien \( s w^{\prime} = 0\) (d'où \( w^{\prime} = 0\) ). Dans le premier cas, \( w^{\prime}\) est un poids dominant par rapport à un autre système fondamental de racines, et est par suite de multiplicité 1. Le degré de \( \rho \) sera donc la somme de la multiplicité du poids 0 (si 0 est un poids) et du nombre des transformés distincts de \( w\) par les opérations du groupe de Weyl. Cette remarque est commode dans le cas où on sait d'une autre manière que 0 n'est pas un poids de \( \rho \) ; c'est ce qui arrivera certainement si \( w\) n'est pas une combinaison à coefficients entiers des racines \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r}\) .

Par ailleurs, on peut démontrer que, si \( w\) et \( w^{\prime}\) sent les poids dominants de deux représentations simples \( \rho\) et \( \rho^{\prime}\) , et si \( w - w^{\prime}\) est une combinaison à coefficients entiers \( \geqslant 0\) de \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r} \) , alors tout poids de \( \rho^{\prime}\) est un poids de \( \rho \) .

Les méthodes transcendantes (H. Weyl) basées sur l'étude des groupes compacts permettent de donner une formule pour le calcul du degré d'une représentation simple de poids dominant donné ; il m'a malheureusement pas été encore possible d'établir cette formule algèbriquement. La formule est la suivante. Désignons par \( w_{0}\) la demi-somme de toutes les racines \( > 0\) , et par \( w\) le poids dominant considéré. Le degré est alors \[ \prod_{\alpha > 0} \frac{ \left\langle w + w_{0} , \alpha \right\rangle}{\left\langle w_{0} , \alpha \right\rangle} \] le produit étant étendu à toutes les racines \( > 0\) .

3. OPÉRATIONS SUR LES REPRÉSENTATIONS.

Soient \( \rho \) et \( \rho^{\prime}\) des représentations de \( \mathfrak{g}\) , \( V \) et \( V^{\prime} \) leurs espaces de représentation. Désignons par \( I\) et \( I^{\prime}\) les automorphismes identiques de \( V\) et de \( V^{\prime}\) respectivement ; on voit alors tout de suite que l'application \( X \rightarrow \rho \left( X \right) \otimes I^{\prime} + I \otimes \rho^{\prime} \left( X \right)\) est une représentation qu'en peut appeler somme tensorielle de \( \rho\) et de \( \rho^{\prime}\) , et désigner par \( \rho \oplus \rho^{\prime}\) . Il est clair que les poids de cette représentation sont toutes les sommes d'un poids de \( \rho\) et d'un poids de \( \rho^{\prime} \) . Si \( \rho \) et \( \rho^{\prime}\) sont simples de poids dominants \( w\) et \( w^{\prime}\) , le poids dominant de \( \rho \oplus \rho^{\prime}\) sera \( w + w^{\prime} \) , mais, bien entendu, \( \rho \oplus \rho^{\prime}\) ne sera pas simple en général, et la théorie des poids ne fournit aucun moyen de décomposer \( \rho \oplus \rho^{\prime}\) en représentations simples (essentiellement parce qu'on ignore tout des multiplicités des poids dans les représentations simples).

Si on considère en particulier le cas où \( \rho^{\prime} = \rho\) , \( V \otimes V\) se décompose en l'espace des éléments symétriques et en celui des symétriques gauches. Si \( w\) est le poids dominant de \( \rho\) , le poids dominant de l'espace des éléments symétriques est \( 2 w\) ; si \( w^{\prime}\) est un élément maximal de l'ensemble des poids \( < w\) de \( \rho\) , \( w + w^{\prime}\) sera un poids dominant de l'espace des éléments symétriques gauches.

Soit maintenant \( V^{\ast}\) le dual de \( V\) ; l'application \( X \rightarrow - ^{t} \left( \rho \left( X \right) \right)\) est une représentation de \( \mathfrak{g}\) , qu'on appelle la contragrédiente de \( \rho\) .

Pour que \( - ^{t} \rho\) soit équivalente à \( \rho \) , il faut et suffit (si \( \rho \) est simple) que l'opposé du poids dominant de \( \rho \) soit encore un poids de \( \rho \) .

Le groupe de Weyl d'une algèbre de type \( A_{r}\) est donc le groupe des permutations de \( r + 1\) objets.

Puisque le groupe de Weyl permet de transformer toute racine \( \neq 0\) en l'une des \( \alpha_{1} , \cdots , \alpha_{r}\) , on voit que les racines sont les \( \epsilon_{i} - \epsilon_{j}\) ( \( 1 \leqslant i , j \leqslant r + 1\) ). La dimension de \( A_{r}\) est donc \( r + r \left( r + 1 \right) = \left( r + 1 \right)^{2} - 1\) . Cherchons les poids dominants fondamentaux. Écrivons \( \langle \epsilon_{i} = \epsilon_{î}^{\prime} + \eta\) , où \( \epsilon_{i}^{\prime} \in \mathfrak{h}^{\ast}_{0}\) , et \( \eta\) est orthogonal à \( \mathfrak{h}^{\ast}_{0}\) . On a alors \( \left\langle \epsilon_{i}^{\prime} , \alpha_{j} \right\rangle = 0 \) si \( i \neq j\) , \( j + 1\) , \( \left\langle \epsilon_{i}^{\prime} , \alpha_{i} \right\rangle = - a\) , \( \left\langle \epsilon_{1} , \alpha_{ i + 1} \right\rangle = a\) . Les poids fondamentaux sont donc \[ w_{1} = - \epsilon_{1}^{\prime} , w_{2} = - \left( \epsilon_{1}^{\prime} + \epsilon_{2}^{\prime} \right) , \cdots , w_{r} = - \left( \epsilon_{1}^{\prime} + \cdots + \epsilon_{r}^{\prime} \right) \] On a d'ailleurs \( \epsilon_{i}^{\prime} = \epsilon_{1}^{\prime} + \alpha_{1} + \cdots + \alpha_{i - 1} \) , et \( \sum_{1}^{\mathfrak{x} + 1} \epsilon_{i}^{\prime} = 0\) , d'où l'expression de \( \epsilon_{1}^{\prime}\) : \( \epsilon_{1}^{\prime} = - \left( r + 1 \right)^{- 1} \left( r \alpha_{1} + \cdots + \alpha_{r} \right)\) . On voit tout de suite qu'aucun des \( w_{i}\) n'est combinaison à coefficients entiers des racines. Si donc \( \rho_{i}\) est la représentation simple de poids dominant \( w_{i}\) , O n'est pas un poids de \( \rho_{i}\) . Le sous-groupe du groupe de Weyl qui invarie \( w_{i}\) est d'indice \( \left( ^{r + 1} _{i} \right)\) dans le groupe total ; il en résulte d'abord que \( \rho_{i} \) est de degré \( r + 1\) . Puisque \( \mathfrak{g}\) coïncide avec sen algèbre dérivée, les opérations de \( \rho_{1} \left( \mathfrak{g} \right) \) sont de trace 0. Or \( \rho_{1}\) est fidèle (parce que \( \mathfrak{g}\) est simple) ; \( \mathfrak{g}\) étant de dimension \( \left( r + 1 \right)^{2} - 1\) , on voit que \( \rho_{1} \left( \mathfrak{g} \right)\) est l'algèbre de tous les endomorphismes de trace 0 de l'espace de représentation \( V\) de \( \rho_{1}\) .

Donc une algèbre simple de type \( A_{r}\) est isomorphe à l'algèbre des matrices de degré \( r + 1\) et de trace 0.

On en conclut qu'une algèbre simple de type \( D_{r}\) est isomorphe à l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension \( 2 r\) qui laissent invariante une forme quadratique non dégénérée.

Chaque \( X_{\alpha}\) étant nilpotent, on peut définir un automorphisme \( s_{\alpha} = \text{exp ad} x_{\alpha} X_{\alpha} \) de \( \mathfrak{g}^{L}\) . Ayant rangé les racines \( \neq 0\) de \( \mathfrak{g}\) par rapport à \( \mathfrak{h}\) dans un ordre quelconque, nous poserons \( s = \prod_{\alpha \in R} s_{\alpha}\) . Soit \[ s \left(^{\mathfrak{x}}_{i = 1} u_{i} H_{i} \right) = \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} v_{i} H_{i} + \sum_{\alpha \in R} w_{\alpha} X_{\alpha} \text{ ; } \] nous allons montrer que cet élément est générique. Les \( v_{i} , w_{\alpha}\) sont des polynomes en les \( u_{i} , x_{\alpha}\) ; il suffira de prouver que leur déterminant fonctionnel n'est pas nul. Nous calculerons ce déterminant fonctionnel pour les valeurs \( x_{\alpha}\) des variables.

Nous désignerons par \( P^{\ast}\) la valeur d'un polynome en les \( u_{i} , x_{\alpha}\) pour \( x_{\alpha} = 0\) . Il est clair que \( v^{\ast}_{i} = u_{i}\) , \( w_{\alpha}^{\ast} = 0\) ; on a donc \( \left( \partial v_{i} / \partial u_{j} \right)^{\ast} = \delta_{ij} \) , \( \left( \partial w_{a} / \partial u_{j} \right)^{\ast} = 0\) . D'autre part, si on fait \( x_{\beta} = 0\) pour tout \( \beta \neq \alpha\) , \( w_{\alpha}\) se réduit à \( - \alpha \left( \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} u_{i} H_{i} \right) x_{\alpha} \) xx et \( w_{\beta}\) à 0 si \( \beta \neq \alpha\) . On a donc \( \left( \partial w_{\alpha} / \partial x_{\alpha} \right)^{\ast} = \quad = - \alpha \left( \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} u_{i} H_{i} \right)\) , \( \left( \partial w_{\alpha} / \partial x_{\beta} \right)^{\ast} = 0\) si \( \beta \neq \alpha\) . Le nombre des racines \( \neq 0\) étant pair, on voit que le déterminant cherché est \( \prod_{\alpha \in R} \alpha \left( \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} u_{i} H_{i} \right)\) ; il est \( \neq 0\) .

Il est clair que les polynomes de Killing de deux éléments génériques de \( \mathfrak{g}^{L}\) se déduisent l'un de l'autre par un automorphisme de \( L\) . Par ailleurs, deux éléments de \( \mathfrak{g}^{L}\) qui se déduisent l'un de l'autre par un automorphisme de \( \mathfrak{g}^{L}\) ont même polynome de Killing. Ceci dit, si on appelle \( r\) la dimension de \( \mathfrak{h}\) , il est clair que le polynome de Killing de \( \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} u_{i} H_{i} \) admet 0 comme racine de multiplicité \( r\) (ses autres racines sont les \( \alpha \left( \sum^{\mathfrak{x}}_{i = 1} u_{i} H_{i} \right)\) , \( \alpha \in R\) ).